Teorie dynamických systémů je oblast matematiky používaná k popisu chování komplexních dynamických systémů, obvykle pomocí diferenciálních rovnic nebo diferenciálních rovnic. Když se používají diferenciální rovnice, nazývá se teorie spojitými dynamickými systémy. Když se používají diferenciální rovnice, nazývá se teorie diskrétními dynamickými systémy. Když časová proměnná běží přes množinu, která je diskrétní v některých intervalech a spojitá v jiných intervalech nebo je libovolnou časovou množinou, jako je například kantorová množina, pak člověk dostane dynamické rovnice v časových měřítkách. Některé situace mohou být také modelovány smíšenými operátory, jako jsou diferenciální diferenciální rovnice.
Tato teorie se zabývá dlouhodobým kvalitativním chováním dynamických systémů a studiem řešení pohybových rovnic systémů, které jsou primárně mechanické povahy; i když to zahrnuje jak oběžné dráhy planet, tak i chování elektronických obvodů a řešení parciálních diferenciálních rovnic, které vznikají v biologii. Velká část moderního výzkumu je zaměřena na studium chaotických systémů.
Tento obor studia se také nazývá jen dynamické systémy, Systémová teorie nebo déle jako matematická teorie dynamických systémů a matematická teorie dynamických systémů.
Lorenzův atraktor je příkladem nelineárního dynamického systému. Studium tohoto systému pomohlo ke vzniku teorie chaosu.
Teorie dynamických systémů a teorie chaosu se zabývají dlouhodobým kvalitativním chováním dynamických systémů. Zde není kladen důraz na hledání přesných řešení rovnic definujících dynamický systém (což je často beznadějné), ale spíše na odpovědi na otázky typu „Usadí se systém v dlouhodobém horizontu do ustáleného stavu, a pokud ano, jaké jsou možné ustálené stavy?“, nebo „Závisí dlouhodobé chování systému na jeho počátečním stavu?“.
Důležitým cílem je popsat pevné body, neboli ustálené stavy dané dynamické soustavy; to jsou hodnoty proměnné, které se v čase nezmění. Některé z těchto pevných bodů jsou atraktivní, což znamená, že pokud systém začíná v blízkém stavu, bude konvergovat k pevnému bodu.
Podobně se člověk zajímá o periodické body, stavy systému, které se opakují po několika časových krocích. Periodické body mohou být také atraktivní. Sarkovského věta je zajímavé tvrzení o počtu periodických bodů jednorozměrné diskrétní dynamické soustavy.
I jednoduché nelineární dynamické systémy často vykazují téměř náhodné, zcela nepředvídatelné chování, kterému se říká chaos. Větev dynamických systémů, která se zabývá čistou definicí a zkoumáním chaosu, se nazývá teorie chaosu.
Pojem teorie dynamických systémů má svůj původ v newtonovské mechanice. Tam, stejně jako v jiných přírodních vědách a technických oborech, je evoluční pravidlo dynamických systémů dáno implicitně vztahem, který dává stav systému jen krátkou dobu do budoucnosti.
Před nástupem rychlých výpočetních strojů, řešení dynamický systém vyžadoval sofistikované matematické techniky a mohlo být dosaženo pouze pro malou třídu dynamických systémů.
Některé vynikající prezentace matematické dynamické teorie systémů patří Beltrami (1987), Luenberger (1979), Padulo a Arbib (1974), a Strogatz (1994).
Pojem dynamického systému je matematická formalizace pro jakékoli pevné „pravidlo“, které popisuje časovou závislost polohy bodu v jeho okolním prostoru. Příkladem jsou matematické modely, které popisují houpání hodinového kyvadla, průtok vody v potrubí a počet ryb každé jaro v jezeře.
Dynamický systém má stav určený množinou reálných čísel, nebo obecněji množinou bodů v příslušném stavovém prostoru. Malé změny ve stavu systému odpovídají malým změnám v číslech. Čísla jsou také souřadnicemi geometrického prostoru – rozmanitostí. Evoluční pravidlo dynamického systému je pevné pravidlo, které popisuje, jaké budoucí stavy vyplývají ze současného stavu. Pravidlo je deterministické: pro daný časový interval vyplývá ze současného stavu pouze jeden budoucí stav.
Dynamicismus, nazývaný též dynamická hypotéza nebo dynamická hypotéza v kognitivní vědě nebo dynamické poznávání, je nový přístup v kognitivní vědě, jehož příkladem je práce filozofa Tima van Geldera. Tvrdí, že diferenciální rovnice jsou pro modelování poznávání vhodnější než tradičnější počítačové modely.
Nelineární systém je v matematice systém, který není lineární, tj. systém, který nesplňuje princip superpozice. Méně technicky, nelineární systém je jakýkoli problém, kde proměnná (proměnné), která má být vyřešena, nemůže být zapsána jako lineární součet nezávislých komponent. Nelhomogenní
systém, který je lineární kromě přítomnosti funkce nezávislých proměnných, je nelineární podle přísné definice, ale takové systémy jsou obvykle studovány vedle lineárních systémů, protože mohou být transformovány na lineární systém, pokud je známo konkrétní řešení.
Plánované dynamické systémy
Ve sportovní biomechanice se teorie dynamických systémů objevila v pohybových vědách jako životaschopný rámec pro modelování sportovních výkonů. Z pohledu dynamických systémů je lidský pohybový systém vysoce spletitou sítí na sobě závislých subsystémů (např. dýchací, oběhové, nervové, kosterně svalové, percepční), které jsou složeny z velkého množství interagujících složek (např. krevních buněk, molekul kyslíku, svalové tkáně, metabolických enzymů, pojivové tkáně a kostí). V teorii dynamických systémů se pohybové vzorce objevují prostřednictvím generických procesů sebeorganizace, které se nacházejí ve fyzikálních a biologických systémech.
Teorie dynamického systému byla aplikována v oblasti neurovědy a kognitivního vývoje, zejména v neopiagetovských teoriích kognitivního vývoje. Je to víra, že kognitivní vývoj je nejlépe reprezentován fyzikálními teoriemi spíše než teoriemi založenými na syntaxi a UI. Také věřila, že diferenciální rovnice jsou nejvhodnějším nástrojem pro modelování lidského chování. Tyto rovnice jsou interpretovány tak, aby reprezentovaly kognitivní trajektorii agenta přes stavový prostor. Jinými slovy, dynamicisté tvrdí, že psychologie by měla být (nebo je) popisem (prostřednictvím diferenciálních rovnic) kognitivních funkcí a chování agenta za určitých environmentálních a vnitřních tlaků. Jazyk teorie chaosu je také často přejímán.
Učitelova mysl v něm dosáhne stavu nerovnováhy, kdy se rozpadly staré vzorce. Jedná se o fázový přechod kognitivního vývoje. Samoorganizace (spontánní vytváření koherentních forem) nastupuje jako vzájemně propojené úrovně aktivity. Nově vytvořené makroskopické a mikroskopické struktury se vzájemně podporují a urychlují proces. Tyto vazby tvoří strukturu nového stavu řádu v mysli prostřednictvím procesu zvaného scalloping (opakované budování a hroucení komplexního výkonu.) Tento nový, neotřelý stav je progresivní, diskrétní, idiosynkratický a nepředvídatelný.
Teorie dynamických systémů byla nedávno použita k vysvětlení dlouho nezodpovězeného problému ve vývoji dítěte označovaného jako A-not-B chyba.
Teorie dynamických systémů je psychologická teorie lidského vývoje. Na rozdíl od teorie dynamických systémů, která je matematickým konstruktem, je teorie dynamických systémů primárně nematematická a řídí se kvalitativními teoretickými propozicemi. Tato psychologická teorie však používá metafory odvozené z matematických konceptů teorie dynamických systémů, aby se pokusila vysvětlit existenci zjevně složitých jevů v lidském psychologickém a motorickém vývoji.
Tato psychologická teorie byla vyvinuta Esther Thelenovou, Ph.D. na Indiana University-Bloomington. Thelenová se začala zajímat o vývojovou psychologii díky svému zájmu a výcviku v behaviorální biologii. Zajímalo ji, zda „pevné vzorce chování“ nebo vysoce opakovatelné pohyby pozorované u ptáků a jiných zvířat jsou také relevantní pro kontrolu a vývoj lidských kojenců
Podle Millera (2002) je teorie dynamických systémů nejširší a nejobsáhlejší ze všech vývojových teorií. Tato teorie se pokouší obsáhnout všechny možné faktory, které mohou být v provozu v daném vývojovém momentu; uvažuje vývoj z mnoha úrovní (od molekulárních po kulturní) a časových škál (od milisekund po roky). Vývoj je vnímán jako konstantní, tekutý, emergentní nebo nelineární a multideterminovaný . Největší vliv teorie dynamických systémů byl v raném senzoricko-motorickém vývoji .
Esther Thelenová věřila, že vývoj zahrnuje hluboce zakořeněný a souvisle spřažený dynamický systém. Není však jasné, zda její využití pojmu „dynamický“ odkazuje na konvenční dynamiku klasické mechaniky nebo na metaforickou reprezentaci „něčeho, co je dynamické“, jak je aplikováno v hovorovém smyslu v běžné řeči, nebo na obojí. Typický pohled, který prezentoval R.D. Beer, ukázal, že informace ze světa byly dány nervovému systému, který řídí tělo, a ten zase interaguje zpět na svět. Esther Thelenová místo toho nabízí vývojový systém, který má nepřetržitou a obousměrnou interakci mezi světem, nervovým systémem a tělem. Přesné mechanismy takové interakce však zůstávají nespecifikovány.
Pohled dynamických systémů na vývoj má tři kritické rysy, které ho oddělují od tradičního modelu vstupů a výstupů. Systém musí být nejprve násoben kauzálním a samoorganizujícím se. To znamená, že chování je vzorec vytvořený z více komponent ve spolupráci s tím, že žádná z nich není privilegovanější než jiná. Vztah mezi více částmi je to, co pomáhá systému zajistit řád a vzorec. Proč by tento vztah poskytoval takový řád a vzorec, však není jasné. Za druhé, dynamický systém je závislý na čase, který dělá současný stav funkcí předchozího stavu a budoucí stav funkcí současného stavu. Třetím rysem je relativní stabilita dynamického systému. Aby se systém mohl změnit, je potřeba volná stabilita, která umožní, aby se komponenty reorganizovaly do jiného vyjádřeného chování. Co představuje stabilitu jako být volný nebo ne-volný, však není specifikováno. Parametry, které určují, co představuje jeden stav organizace oproti jinému stavu, také nejsou specifikovány jako obecnost v teorii dynamických systémů. Teorie tvrdí, že vývoj je sled časů, kdy je stabilita nízká a umožňuje nový vývoj a kdy je stabilita stabilní s menší změnou vzoru. Teorie tvrdí, že aby se tyto pohyby uskutečnily, je třeba zvětšit kontrolní parametr, aby se dosáhlo prahu (za bodem stability). Jakmile je tohoto prahu dosaženo, svaly začnou tvořit různé pohyby. Tohoto prahu musí být dosaženo, aby se každý jiný sval smrštil a uvolnil, aby se pohyb uskutečnil. Teorie může být viděna, že předkládá variantní vysvětlení pro regulaci délky svalu a napětí, ale extrapolace nejasně nastíněného argumentu pro svalovou akci na velkou teorii lidského vývoje zůstává nepřesvědčivá a nepotvrzená.
Počáteční výzkum motorického chování kojenců (zejména šlapání, kopání a natahování) vedl Esther Thelenovou k nespokojenosti s existujícími teoriemi a posunul ji směrem k perspektivě dynamických systémů. Předchozí pohledy na vývoj pojímaly kojence jako pasivní a motorický vývoj kojenců jako výsledek geneticky určeného vývojového plánu. Thelenová ve své práci tvrdila, že tělesná hmotnost a proporce kojenců, držení těla, elastické a inerciální vlastnosti svalů a povaha úkolu a prostředí přispívají stejnou měrou k motorickému výsledku. Žádný z těchto argumentů nebyl vědecky potvrzen částečně kvůli šíři a špatnému operačnímu definování parametrů používaných k reprezentaci daných jevů. Teoreticky se uvádí, že kojenci mohou „samokompletovat“ nové motorické vzory v neotřelých situacích, ale co to ve skutečnosti znamená, čeká na další a konkrétní objasnění. Teorie tvrdí, že vývoj se děje u jednotlivých dětí řešících individuální problémy jejich vlastními jedinečnými způsoby . Thelen použil tezi, že protože každé dítě je jiné, pokud jde o jeho tělo, nervový systém a každodenní zkušenost, průběh vývoje je téměř nemožné předvídat, a přesto teorie nepočítá s jasnými trendy a předvídatelností vývoje u většiny dětí, navzdory tomu, že existuje více cest k vývoji . Vývoj údajně není jen výsledkem genetiky nebo prostředí, ale spíše proplétání událostí v daném okamžiku . Jak k takovému proplétání dochází, není teorií v určitých pojmech specifikováno. Zastánci teorie dynamických systémů tvrdí, že měli největší vliv na raný senzoricko-motorický vývoj .