axiom je jakákoli věta, tvrzení, výrok nebo pravidlo, které tvoří základ formálního systému. Na rozdíl od vět nejsou axiomy odvozeny principy dedukce, ani nejsou prokazatelné formálními důkazy. Místo toho je axiom považován za platný a slouží jako nezbytný výchozí bod pro dedukci a vyvození logicky konzistentních tvrzení. V mnoha použitích se zaměnitelně používají „axiom“, „postulát“ a „předpoklad“.
V některých epistemologických teoriích je axiom samozřejmou pravdou, na níž musí spočívat další poznání a z níž se další poznání buduje. axiom v tomto smyslu může být znám dříve, než člověk zná některou z těchto dalších tezí. Ne všichni epistemologové souhlasí s tím, že nějaké axiomy, chápané v tomto smyslu, existují.
V logice a matematice není axiom nutně samozřejmou pravdou, ale spíše formálním logickým výrazem používaným v dedukci k získání dalších výsledků. Axiomatizovat systém poznání znamená ukázat, že všechna jeho tvrzení lze odvodit z malé, dobře srozumitelné množiny vět. To neznamená, že by mohla být známa nezávisle; a obvykle existuje více způsobů, jak axiomatizovat daný systém poznání (například aritmetika). Matematika rozlišuje dva typy axiomů: logické axiomy a nelogické axiomy.
Slovo „axiom“ pochází z řeckého slova
αξιωμα (axioma), což znamená to, co je považováno za hodné nebo vhodné nebo to, co je považováno za samozřejmé. Slovo pochází z αξιοειν (axioein), což znamená považovat za hodné, což zase pochází z αξιος (axios), což znamená hodné. Mezi starořeckými filozofy byl axiom tvrzení, které bylo možné považovat za pravdivé bez potřeby důkazu.
Logiko-deduktivní metoda, kdy závěry (nové poznatky) vyplývají z premis (staré poznatky) použitím zdravých argumentů (sylogismy, pravidla dedukce), byla vyvinuta starověkými Řeky, a stala se základním principem moderní matematiky. Tautologie vyloučeny, nic nelze odvodit, pokud se nic nepředpokládá. Axiomy a postuláty jsou základní předpoklady, na kterých je založen daný soubor deduktivních poznatků. Jsou přijímány bez demonstrace. Všechna ostatní tvrzení (věty, pokud mluvíme o matematice) musí být prokázána pomocí těchto základních předpokladů. Nicméně, interpretace matematických poznatků se od starověku změnila na moderní, a proto pojmy axiom a postulát mají pro dnešního matematika trochu jiný význam, než měly pro Aristotela a Euklida.
Staří Řekové považovali geometrii jen za jednu z několika věd a zastávali věty o geometrii na stejné úrovni jako vědecká fakta. Jako takoví vyvinuli a používali logico-deduktivní metodu jako prostředek, jak se vyhnout chybě, a pro strukturování a sdělování znalostí. Aristotelova zadní analytika je definitivní výklad klasického pohledu.
„axiom“, v klasické terminologii, odkazoval na samozřejmý předpoklad společný mnoha vědním oborům. Dobrým příkladem by bylo tvrzení, že
Když je stejné množství převzato z rovná se, stejné množství má za následek.
Na základech různých věd ležely určité dodatečné hypotézy, které byly přijaty bez důkazu. Taková hypotéza byla nazývána postulátem. Zatímco axiomy byly společné mnoha vědám, postuláty každé konkrétní vědy byly odlišné. Jejich platnost musela být stanovena na základě zkušeností z reálného světa. Aristoteles skutečně varuje, že obsah vědy nemůže být úspěšně sdělen, pokud je studující na pochybách o pravdivosti postulátů.
Klasický přístup dobře ilustrují Euklidovy prvky, kde je uveden seznam axiomů (velmi základních, samozřejmých tvrzení) a postulátů (všeobecně smyslová geometrická fakta čerpaná z naší zkušenosti).
Poučení z matematiky za posledních 150 let je, že je užitečné oddělit význam od matematických tvrzení (axiomů, postulátů, tvrzení, vět) a definic. Tato abstrakce, dalo by se dokonce říci formalizace, činí matematické znalosti obecnějšími, schopnými více různých významů, a proto jsou užitečné ve více kontextech.
Strukturální matematika jde ještě dál a rozvíjí teorie a axiomy (např. teorie pole, teorie grup, topologie, vektorové prostory), aniž by měla na mysli nějaké konkrétní použití. Rozdíl mezi „axiomem“ a „postulátem“ mizí. Euklidovy postuláty jsou výhodně motivovány tvrzením, že vedou k velkému množství geometrických faktů. Pravda těchto komplikovaných faktů spočívá na přijetí základních hypotéz. Nicméně vyvrácením Euklidova pátého postulátu dostáváme teorie, které mají význam v širších souvislostech, například v hyperbolické geometrii. Musíme být jednoduše připraveni používat popisky jako „čára“ a „paralela“ s větší flexibilitou. Vývoj hyperbolické geometrie učil matematiky, že postuláty by měly být považovány za čistě formální tvrzení, a ne za fakta založená na zkušenosti.
Když matematici používají axiomy pole, záměry jsou ještě abstraktnější. Návrhy teorie pole se netýkají žádné konkrétní aplikace; matematik nyní pracuje v úplné abstrakci. Existuje mnoho příkladů polí; teorie pole dává správné znalosti o nich všech.
Není správné říkat, že axiomy teorie pole jsou „tvrzení, která jsou považována za pravdivá bez důkazu“. Spíše jsou axiomy pole množinou omezení. Pokud nějaký daný systém sčítání a násobení splňuje tato omezení, pak je člověk v pozici, kdy okamžitě ví o tomto systému spoustu dalších informací.
Moderní matematika formalizuje své základy do té míry, že matematické teorie lze považovat za matematické objekty a logiku samotnou lze považovat za obor matematiky. Frege, Russell, Poincaré, Hilbert a Gödel jsou některé z klíčových postav tohoto vývoje.
V moderním chápání je množina axiomů jakákoli sbírka formálně uvedených tvrzení, z nichž další formálně uvedená tvrzení vyplývají použitím určitých přesně definovaných pravidel. V tomto pohledu se logika stává jen dalším formálním systémem. Množina axiomů by měla být konzistentní; nemělo by být možné odvodit z axiomu rozpor. Množina axiomů by také měla být nedůležitá; tvrzení, které lze odvodit z jiných axiomů, nemusí být považováno za axiom.
Byla to raná naděje moderních logiků, že různé obory matematiky, možná všechny matematiky, by mohly být odvozeny od konzistentní sbírky základních axiomů. Raným úspěchem formalistického programu byla Hilbertova formalizace euklidovské geometrie a související demonstrace konzistence těchto axiomů.
V širším kontextu došlo k pokusu založit veškerou matematiku na Cantorově teorii množin. Zde vznik Russellova paradoxu a podobných antinomií naivní teorie množin vyvolal možnost, že by se jakýkoli takový systém mohl ukázat jako nekonzistentní.
Formalistický projekt utrpěl rozhodující nezdar, když v roce 1931 Gödel ukázal, že je možné pro každou dostatečně velkou množinu axiomů (například Peanovy axiomy) sestavit tvrzení, jehož pravda je nezávislá na této množině axiomů. Jako důsledek, Gödel prokázal, že konzistence teorie jako Peanova aritmetika je neprokazatelné tvrzení v rámci této teorie.
Je rozumné věřit v konzistenci Peanovy aritmetiky, protože je uspokojena soustavou přirozených čísel, nekonečným, ale intuitivně přístupným formálním systémem. V současnosti však neexistuje žádný známý způsob, jak prokázat konzistenci moderních Zermelových-Frankelových axiomů pro teorii množin. Axiom volby, klíčová hypotéza této teorie, zůstává velmi kontroverzním předpokladem. Dále lze pomocí technik vynucování (Cohen) ukázat, že hypotéza kontinua (Cantor) je nezávislá na Zermelových-Frankelových axiomech. Tudíž ani tuto velmi obecnou soustavu axiomů nelze považovat za definitivní základ matematiky.
V oblasti matematické logiky se jasně rozlišuje mezi dvěma pojmy axiomů: logickými axiomy a nelogickými axiomy (poněkud podobné starověkému rozlišení mezi „axiomy“ a „postuláty“)
Jedná se o určité vzorce v jazyce, které jsou univerzálně platné, tj. vzorce, které jsou splněny každou strukturou pod každou proměnnou přiřazovací funkcí . V hovorové terminologii se jedná o tvrzení, která jsou pravdivá v jakémkoli možném vesmíru, pod jakoukoli možnou interpretací a s jakýmkoli přiřazováním hodnot. Obvykle se za logické axiomy považuje alespoň nějaká minimální množina tautologií, která je dostatečná pro prokázání všech tautologií v jazyce; v případě predikátové logiky je zapotřebí více logických axiomů, než jsou ty, aby se prokázaly logické pravdy, které nejsou tautologiemi v pravém slova smyslu.
V výrokové logice je běžné brát jako logické axiomy všechny vzorce z následujících forem, kde , , A může být jakékoliv vzorce jazyka:
Každý z těchto obrazců je axiomové schéma, pravidlo pro generování nekonečného počtu axiomů. Například pokud , , A jsou výrokové proměnné, pak a jsou oba případy axiomového schématu 1, a proto jsou axiomy. Lze ukázat, že pouze s těmito třemi axiomovými schématy a modus ponens lze prokázat všechny tautologie výrokového kalkulu. Lze také ukázat, že žádná dvojice těchto schémat není dostatečná pro prokázání všech tautologií s modus ponens.
Tato schémata axiomů se používají také v predikátovém počtu, ale jsou potřeba další logické axiomy.
Axiom rovnosti. Dovolit být první-pořadí jazyka. Pro každou proměnnou , Vzorec
To znamená, že pro každý variabilní symbol , vzorec může být považován za axiom. Také, v tomto příkladu, aby to nespadalo do vágnosti a nikdy nekončící řady „primitivních pojmů“, buď přesná představa o tom, co máme na mysli tím (nebo, pro všechny, co je důležité, „být si rovni“) musí být dobře stanovena jako první, nebo čistě formální a syntaktické použití symbolu musí být vynuceno, pouze s ohledem na to jako řetězec a pouze řetězec symbolů, a matematická logika to skutečně dělá.
Jiný, zajímavější příklad axiom schéma, je to, co nám poskytuje to, co je známé jako univerzální Instantiation:
Axiom schéma pro univerzální Instantiation. Zadán vzorec v jazyce prvního řádu , proměnná a termín, který je nahraditelný v , vzorec
Kde symbol znamená vzorec s termínem nahrazen . (Viz proměnná substituce.) V neformálním vyjádření, tento příklad nám umožňuje konstatovat, že pokud víme, že určitá vlastnost platí pro každý a že pokud stojí pro určitý objekt v naší struktuře, pak bychom měli být schopni tvrdit . Opět, tvrdíme, že vzorec je platný, to znamená, že musíme být schopni dát „důkaz“ této skutečnosti, nebo přesněji řečeno, metadůkaz. Ve skutečnosti, tyto příklady jsou metatheoremy naší teorie matematické logiky, protože se zabýváme samotným pojmem důkaz sám. Kromě toho, můžeme mít také Existenciální Generalizace:
Axiomové schéma pro Existenciální Generalizaci. Zadán vzorec v jazyce prvního řádu , proměnná a termín, který je nahraditelný v , vzorec
Nelogické axiomy jsou vzorce, které hrají roli teoreticky specifických předpokladů. Rozumování o dvou různých strukturách, například přirozených číslech a celých číslech, může zahrnovat stejné logické axiomy; cílem nelogických axiomů je zachytit to, co je na určité struktuře (nebo soustavě struktur, například grupách) zvláštní. Nelogické axiomy tedy na rozdíl od logických axiomů nejsou tautologie. Jiný název pro nelogický axiom je postulát.
Téměř každá moderní matematická teorie vychází z dané množiny nelogických axiomů a mělo se za to, že v zásadě každá teorie může být takto axiomatizována a formalizována až do holého jazyka logických vzorců. To se ukázalo jako nemožné a ukázalo se, že je to docela příběh (viz níže); nicméně nedávno byl tento přístup vzkříšen v podobě neologismu.
Nelogické axiomy jsou v matematickém diskurzu často jednoduše označovány jako axiomy. To neznamená, že se tvrdí, že jsou pravdivé v nějakém absolutním smyslu. Například v některých skupinách je skupinová operace komutativní, a to lze potvrdit zavedením dalšího axiomu, ale bez tohoto axiomu můžeme docela dobře rozvíjet (obecnější) teorii grup, a dokonce můžeme jeho negaci brát jako axiom pro studium nekomutativních grup.
Tudíž axiom je elementární základ pro formální logický systém, který spolu s pravidly inference definuje deduktivní systém.
Tato část uvádí příklady matematických teorií, které jsou vyvinuty výhradně z množiny nelogických axiomů (axiomů, dále). Přísné zacházení s jakýmkoli z těchto témat začíná specifikací těchto axiomů.
Základní teorie, jako aritmetika, reálná analýza a komplexní analýza jsou často zaváděny neexiomaticky, ale implicitně nebo explicitně se obecně předpokládá, že používané axiomy jsou axiomy Zermelovy-Fraenkelovy teorie množin s možností volby, zkráceně ZFC, nebo nějaký velmi podobný systém axiomatické teorie množin, nejčastěji Von Neumannova-Bernaysova-Gödelova teorie množin, zkráceně NBG. Jedná se o konzervativní rozšíření ZFC, s identickými větami o množinách, a tudíž velmi úzce související. Někdy se používají trochu silnější teorie, jako Morse-Kelleyova teorie množin nebo teorie množin se silně nepřístupným kardinálem umožňujícím použití Grothendieckova vesmíru, ale ve skutečnosti většina matematiků může dokázat vše, co potřebují v systémech slabších než ZFC, jako je aritmetika druhého řádu.
Geometrie jako euklidovská geometrie, projektivní geometrie, symplektická geometrie. Zajímavé je, že jedním z výsledků pátého euklidovského axiomu je nelogický axiom, že tři úhly trojúhelníku se podle definice nepřidávají k 180°. Pouze pod deštníkem euklidovské geometrie je to vždy pravda.
Studium topologie v matematice se rozšiřuje přes topologii bodových množin, algebraickou topologii, diferenciální topologii a všechny související parafernalie, jako je teorie homologie, teorie homotopie.
Rozvoj abstraktní algebry přinesl s sebou teorii grup, kruhů a polí, Osnova teorie.
Tento seznam by mohl být rozšířen o většinu oblastí matematiky, včetně axiomatické teorie množin, teorie měr, ergodické teorie, pravděpodobnosti, teorie reprezentace a diferenciální geometrie.
Peanovy axiomy jsou nejrozšířenější axiomatizací aritmetiky prvního řádu. Jsou množinou axiomů dostatečně silných na to, aby prokázaly mnoho důležitých faktů o teorii čísel a umožnily Gödelovi založit jeho slavnou druhou větu o neúplnosti.
Máme jazyk, kde je konstantní symbol a je unární funkce a následující axiomy:
Standardní struktura je kde je množina přirozených čísel, je následnická funkce a je přirozeně interpretována jako číslo 0.
Pravděpodobně nejstarším a nejznámějším seznamem axiomů jsou Euklidovy postuláty geometrie roviny 4 + 1. Tato množina axiomů se ukazuje jako neúplná a k přísné charakterizaci jeho geometrie je zapotřebí mnoho dalších postulátů (Hilbert použil 23).
Axiomy jsou označovány jako „4 + 1“, protože po téměř dvě tisíciletí bylo podezření, že pátý (rovnoběžný) postulát („přes bod mimo přímku je přesně jedna rovnoběžka“) je odvozitelný od prvních čtyř. Nakonec bylo zjištěno, že pátý postulát je nezávislý na prvních čtyřech. Lze předpokládat, že neexistují žádné rovnoběžky přes bod mimo přímku, že existuje přesně jedna nebo že jich existuje nekonečně mnoho. Tyto volby nám dávají alternativní formy geometrie, ve kterých vnitřní úhly trojúhelníku dávají dohromady méně než, přesně nebo více než přímka a jsou známé jako eliptické, euklidovské a hyperbolické geometrie.
Předmětem studia jsou reálná čísla. Reálná čísla jsou jedinečně vybrána (až po izomorfismus) podle vlastností Dedekindova kompletního uspořádaného pole, což znamená, že každá neprázdná množina reálných čísel s horní hranicí má nejmenší horní hranici. Vyjádření těchto vlastností jako axiomů však vyžaduje použití logiky druhého řádu. Löwenheimovy-Skolemovy věty nám říkají, že pokud se omezíme na logiku prvního řádu, každý axiomový systém pro reály připouští jiné modely, včetně obou modelů, které jsou menší než reály, a modelů, které jsou větší. Některé z těchto druhých jsou studovány v nestandardní analýze.
Role v matematické logice
Deduktivní systémy a úplnost
Deduktivní systém se skládá z množiny logických axiomů, množiny nelogických axiomů a množiny pravidel dedukce. Žádoucí vlastností deduktivního systému je, že je kompletní. Systém je prý kompletní, pokud pro všechny vzorce ,
to znamená, že pro každý výrok, který je logickým důsledkem skutečně existuje dedukce výroku od . To je někdy vyjádřeno jako „všechno, co je pravdivé, je prokazatelné“, ale je třeba chápat, že „pravdivé“ zde znamená „pravdivé díky množině axiomů“, a ne například „pravdivé v zamýšlené interpretaci“. Gödelova věta o úplnosti stanovuje úplnost určitého běžně používaného typu deduktivního systému.
Všimněte si, že „úplnost“ zde má jiný význam než v kontextu Gödelovy první věty o neúplnosti, která říká, že žádná rekurzivní, konzistentní množina ne-logických axiomů Teorie aritmetiky je kompletní, v tom smyslu, že vždy bude existovat aritmetický výrok takový, že ani nemůže být prokázáno z dané množiny axiomů.
Existuje tedy na jedné straně pojem úplnosti deduktivního systému a na druhé straně pojem úplnosti množiny nelogických axiomů. Věta úplnosti a věta o neúplnosti si navzdory svým názvům neodporují.
Raní matematici považovali axiomatickou geometrii za model fyzikálního prostoru, a zjevně mohl existovat jen jeden takový model. Myšlenka, že by alternativní matematické systémy mohly existovat, byla pro matematiky 19. století velmi znepokojivá a vývojáři systémů, jako je booleovská algebra, vynaložili značné úsilí, aby je odvodili z tradiční aritmetiky. Galois těsně před svou předčasnou smrtí ukázal, že tyto snahy byly z velké části zbytečné. Abstraktní paralely mezi algebraickými systémy byly nakonec považovány za důležitější než detaily a zrodila se moderní algebra. V moderním pohledu můžeme za axiomy považovat jakoukoliv sadu vzorců, které se nám líbí, pokud není známo, že jsou nekonzistentní.
Tento článek obsahuje materiál z Axiom na PlanetMath, který je licencován pod GFDL.