Bodový proces je v matematice náhodný prvek, jehož hodnoty jsou „bodové vzory“ na množině S. Zatímco v přesné matematické definici je bodový vzor specifikován jako lokálně konečné počítací měřítko, pro aplikovanější účely stačí uvažovat o bodovém vzoru jako spočitatelné podmnožině S, která nemá žádné limitní body.
Bodové procesy jsou dobře studované objekty v teorii pravděpodobnosti a mocný nástroj ve statistice pro modelování a analýzu prostorových dat, který je zajímavý v tak rozmanitých oborech, jako je lesnictví, ekologie rostlin, epidemiologie, geografie, seismologie, věda o materiálech, astronomie, ekonomie a další.
Bodové procesy na reálné přímce tvoří důležitý speciální případ, který je obzvláště přístupný studiu, protože jednotlivé body jsou uspořádány přirozeným způsobem a celý bodový proces lze popsat kompletně pomocí (náhodných) intervalů mezi body. Tyto bodové procesy jsou často používány jako modely pro náhodné události v čase, jako je příchod zákazníků do fronty (teorie řazení), impulsů v neuronu (výpočetní neurověda) nebo vyhledávání na celosvětovém webu.
Obecná teorie bodových procesů
Nechť S být lokálně kompaktní druhý počitatelný Hausdorffova prostor vybavený jeho Borel σ-algebra B. Pište pro soubor lokálně konečných počítání opatření na S a pro nejmenší σ-algebra na že vykresluje všechny body počítá
pro relativně kompaktní soupravy B v B měřitelné.
Bodový proces na S je měřitelná mapa
z pravděpodobnostního prostoru do měřitelného prostoru .
Podle této definice je bodový proces zvláštním případem náhodného měření.
Nejčastějším příkladem pro stavový prostor S je euklidovský prostor Rn nebo jeho podmnožina, kde zvlášť zajímavý speciální případ je dán reálnou polopřímkou [0,∞). Bodové procesy se však neomezují jen na tyto příklady a mohou být mimo jiné použity i v případě, že body jsou samy kompaktní podmnožinou Rn, v takovém případě se ξ obvykle označuje jako částicový proces.
Bylo zaznamenáno[Jak odkazovat a odkaz na shrnutí nebo text], že termín bod proces není příliš dobrý, pokud S není podmnožinou reálné linky, jak by to mohlo naznačovat, že ξ je stochastický proces. Nicméně, termín je dobře zavedené a nesporné i v obecném případě.
Každý bodový proces ξ může být reprezentován jako
kde označuje Diracovu míru, N je náhodná proměnná s celočíselnou hodnotou a jsou náhodnými prvky S.
Očekávání opatření Eξ bodového procesu ξ je opatření na S, který přiřazuje každému Borel podmnožiny B z S očekávaný počet bodů ξ v B. To je,
Laplaceova funkce bodového procesu N je
mapa z množiny všech kladných hodnot funkcí f na stavovém prostoru N, do definované takto:
Hrají podobnou roli jako charakteristické funkce pro náhodnou proměnnou.
Jedna důležitá věta říká, že: dva bodové procesy mají stejný zákon iff
jejich Laplaceovy funkcionály jsou si rovny.
Bodové procesy v prostorové statistice
Analýza dat bodového vzoru v kompaktní podmnožině S z Rn je hlavním předmětem studia v rámci prostorové statistiky. Tato data se objevují v široké škále oborů, mezi něž patří
Potřeba používat bodové procesy k modelování těchto druhů dat spočívá v jejich vlastní prostorové struktuře. Proto je často první otázkou zájmu to, zda daná data vykazují úplnou prostorovou náhodnost (tj. jsou realizací prostorového Poissonova procesu) na rozdíl od vykazování buď prostorové agregace nebo prostorové inhibice.
Oproti tomu mnoho datových souborů uvažovaných v klasické multivariační statistice se skládá z pevně generovaných datových bodů, které mohou být řízeny jednou nebo několika proměnnými (typicky ne-prostorovými).
Bodové procesy na reálné polopřímce
Historicky první zkoumané bodové procesy měly jako svůj stavový prostor reálnou polopřímku R+ = [0,∞], která je v tomto kontextu obvykle interpretována jako čas. Tyto studie byly motivovány přáním modelovat telekomunikační systémy, v nichž body představovaly události v čase, například volání na telefonní ústřednu.
Bodové procesy na R+ jsou typicky popsány uvedením posloupnosti jejich (náhodných) mezičasů (T1, T2,…), ze kterých lze získat aktuální posloupnost (X1, X2,…) časů událostí jako
Pokud jsou časy mezi událostmi nezávislé a identicky rozložené, získaný bodový proces se nazývá obnovovací proces.
Funkce podmíněné intenzity
kde Ht označuje historii časů událostí předcházejících času t.
Funkce intenzity papangelou
Funkce Papangelouovy intenzity bodového procesu v -dimenzionálním euklidovském prostoru
je definována jako:
kde je míč na střed o poloměru ,
a označuje informace o bodu procesu
mimo .