Exponenciálně-logaritmické rozdělení

V teorii pravděpodobnosti a statistice je exponenciálně-logaritmické (EL) rozdělení rodinou doživotních distribucí s
klesající chybovostí, definovanou na intervalu (0, ∞). Toto rozdělení je parametrizováno dvěma parametry a .

Funkce hustoty pravděpodobnosti

Studium délky organismů, přístrojů, materiálů atd. má zásadní význam v biologických a technických vědách. Obecně se očekává, že životnost přístroje bude vykazovat klesající míru poruchovosti (DFR), pokud je jeho chování v čase charakterizováno „tvrdnutím při práci“ (z inženýrského hlediska) nebo „imunitou“ (z biologického hlediska).

Exponenciálně-logaritmický model spolu s jeho různými vlastnostmi studují Tahmasbi a Rezaei (2008)
Tento model je získán pod pojmem populační heterogenita (procesem
skládání).

Vlastnosti rozdělení

Funkce hustoty pravděpodobnosti (pdf) EL rozdělení je dána Tahmasbi a Rezaei (2008)

kde a . Tato funkce se striktně snižuje a má tendenci k nule jako . EL rozdělení má svou modální hodnotu hustoty v x=0, danou

EL snižuje na exponenciální rozdělení s rychlostním parametrem , jako .

Kumulativní distribuční funkce je dána

a tudíž, medián je dán

Okamžik generování funkce lze určit z pdf přímou integrací a je dána

kde je hypergeometrická funkce. Tato funkce je také známá jako Barnesova rozšířená hypergeometrická funkce. Definice je

Okamžiky mohou být odvozeny od . Pro
, syrové okamžiky jsou dány

kde je polylogaritmická funkce, která je definována jako
následující:

Proto průměr a rozptyl EL rozdělení
jsou dány, respektive

Funkce přežití, nebezpečí a střední zbytková životnost

Funkce přežití (také známá jako funkce spolehlivosti
a funkce nebezpečnosti (také známá jako funkce míry selhání
EL rozdělení jsou dány, respektive

Průměrná zbytková životnost EL rozdělení je dána vzorcem

kde je dilogaritmus funkce

Nechť U je náhodná veličina ze standardního rovnoměrného rozdělení.
Následující transformace U má EL rozdělení s
parametry p a β:

Odhad parametrů

Pro odhad parametrů se používá EM algoritmus. O této metodě pojednávají Tahmasbi a Rezaei (2008). EM iterace je dána

Doporučujeme:  Cvičební hypertenze

EL rozdělení bylo zobecněno na Weibullovo-logaritmické rozdělení.

Je-li X definováno jako náhodná veličina, která je minimem N nezávislých realizací z exponenciálního rozdělení s rychlostním parametrem β, a je-li N realizací z logaritmického rozdělení (kde je parametr p v obvyklém parametru nahrazen (1 − p)), pak X má exponenciálně-logaritmické rozdělení v parametru použitém výše.