V teorii pravděpodobnosti a statistice je exponenciálně-logaritmické (EL) rozdělení rodinou doživotních distribucí s
klesající chybovostí, definovanou na intervalu (0, ∞). Toto rozdělení je parametrizováno dvěma parametry a .
Funkce hustoty pravděpodobnosti
Studium délky organismů, přístrojů, materiálů atd. má zásadní význam v biologických a technických vědách. Obecně se očekává, že životnost přístroje bude vykazovat klesající míru poruchovosti (DFR), pokud je jeho chování v čase charakterizováno „tvrdnutím při práci“ (z inženýrského hlediska) nebo „imunitou“ (z biologického hlediska).
Exponenciálně-logaritmický model spolu s jeho různými vlastnostmi studují Tahmasbi a Rezaei (2008)
Tento model je získán pod pojmem populační heterogenita (procesem
skládání).
Vlastnosti rozdělení
Funkce hustoty pravděpodobnosti (pdf) EL rozdělení je dána Tahmasbi a Rezaei (2008)
kde a . Tato funkce se striktně snižuje a má tendenci k nule jako . EL rozdělení má svou modální hodnotu hustoty v x=0, danou
EL snižuje na exponenciální rozdělení s rychlostním parametrem , jako .
Kumulativní distribuční funkce je dána
a tudíž, medián je dán
Okamžik generování funkce lze určit z pdf přímou integrací a je dána
kde je hypergeometrická funkce. Tato funkce je také známá jako Barnesova rozšířená hypergeometrická funkce. Definice je
Okamžiky mohou být odvozeny od . Pro
, syrové okamžiky jsou dány
kde je polylogaritmická funkce, která je definována jako
následující:
Proto průměr a rozptyl EL rozdělení
jsou dány, respektive
Funkce přežití, nebezpečí a střední zbytková životnost
Funkce přežití (také známá jako funkce spolehlivosti
a funkce nebezpečnosti (také známá jako funkce míry selhání
EL rozdělení jsou dány, respektive
Průměrná zbytková životnost EL rozdělení je dána vzorcem
kde je dilogaritmus funkce
Nechť U je náhodná veličina ze standardního rovnoměrného rozdělení.
Následující transformace U má EL rozdělení s
parametry p a β:
Odhad parametrů
Pro odhad parametrů se používá EM algoritmus. O této metodě pojednávají Tahmasbi a Rezaei (2008). EM iterace je dána
EL rozdělení bylo zobecněno na Weibullovo-logaritmické rozdělení.
Je-li X definováno jako náhodná veličina, která je minimem N nezávislých realizací z exponenciálního rozdělení s rychlostním parametrem β, a je-li N realizací z logaritmického rozdělení (kde je parametr p v obvyklém parametru nahrazen (1 − p)), pak X má exponenciálně-logaritmické rozdělení v parametru použitém výše.