V matematice je absolutní hodnota (nebo modul) reálného čísla jeho číselná hodnota bez ohledu na znaménko. Takže například 3 je absolutní hodnota 3 i −3. V počítačovém programování je matematická funkce používaná k provedení tohoto výpočtu obvykle nazvána abs().
Generalizace absolutní hodnoty pro reálná čísla se vyskytují v široké škále matematických nastavení. Například absolutní hodnota je definována také pro komplexní čísla, kvaterniony, uspořádané kruhy, pole a vektorové prostory.
Absolutní hodnota úzce souvisí s pojmy velikosti, vzdálenosti a normy v různých matematických a fyzikálních kontextech.
Graf funkce absolutní hodnoty pro reálná čísla.
Jak je patrné z výše uvedené definice, absolutní hodnota a je vždy buď kladná, nebo nulová, ale nikdy záporná.
Z geometrického hlediska je absolutní hodnota reálného čísla vzdálenost dané přímky reálného čísla od nuly a obecněji absolutní hodnota rozdílu dvou reálných čísel je vzdálenost mezi nimi. Pojem abstraktní funkce vzdálenosti v matematice lze chápat jako zobecnění absolutní hodnoty rozdílu (viz „Vzdálenost“ níže).
Následující tvrzení dává identitu, která se někdy používá jako alternativní (a ekvivalentní) definice absolutní hodnoty:
Dvě další užitečné nerovnosti jsou:
Výše uvedené se často používají při řešení nerovností; například:
Vzhledem k tomu, že komplexní čísla nejsou seřazena, nelze výše uvedenou definici reálné absolutní hodnoty pro komplexní číslo přímo zobecnit. Identita uvedená v návrhu 1 však:
lze považovat za motivující následující definici.
kde x a y jsou reálná čísla, absolutní hodnota nebo modul je označen a je definován jako
Z toho vyplývá, že absolutní hodnota reálného čísla x se rovná jeho absolutní hodnotě považované za komplexní číslo, protože:
Podobně jako u geometrického výkladu absolutní hodnoty reálných čísel vyplývá z Pythagorovy věty, že absolutní hodnota komplexního čísla je vzdálenost v komplexní rovině tohoto komplexního čísla od počátku, a obecněji, že absolutní hodnota rozdílu dvou komplexních čísel je rovna vzdálenosti mezi těmito dvěma komplexními čísly.
Komplexní absolutní hodnota sdílí všechny vlastnosti reálné absolutní hodnoty uvedené v Propozicích 2 a 3 výše. Kromě toho, Pokud
je komplexní konjugát , Pak je snadno vidět, že
Druhý vzorec je komplexní analogie tvrzení 1 výše uvedené v reálném případě …
Vzhledem k tomu, že kladné reálie tvoří podskupinu komplexních čísel v rámci násobení, můžeme absolutní hodnotu považovat za endomorfismus multiplikativní skupiny komplexních čísel.
Funkce reálné absolutní hodnoty je všude spojitá. Je diferencovatelná všude kromě x = 0. Monotónně klesá na intervalu (-∞, 0] a monotónně roste na intervalu [0, ∞). Protože reálné číslo a jeho záporná hodnota mají stejnou absolutní hodnotu, je to sudá funkce, a není tedy invertibilní.
Komplexní funkce absolutní hodnoty je spojitá všude, ale (komplexní) diferencovatelné nikde (Jedním ze způsobů, jak to vidět, je ukázat, že to není řídit Cauchyho-Riemannovy rovnice).
Reálné i komplexní funkce jsou idempotentní.
Jedná se o nelineární funkci.
Definice absolutní hodnoty dané pro reálných čísel výše může být snadno rozšířena na jakékoliv objednané kroužek. To je, pokud je prvek objednané kroužek , Pak absolutní hodnota , Označený , Je definována jako:
kde je aditivní inverzní hodnota , a je aditivní identifikační prvek.
Absolutní hodnota úzce souvisí s představou vzdálenosti. Jak bylo uvedeno výše, absolutní hodnota reálného nebo komplexního čísla je vzdálenost od tohoto čísla k počátku, podél reálné číselné osy, pro reálná čísla nebo v komplexní rovině, pro komplexní čísla, a obecněji, absolutní hodnota rozdílu dvou reálných nebo komplexních čísel je vzdálenost mezi nimi.
Standardní euklidovská vzdálenost mezi dvěma body
v euklidovském n-prostoru je definován jako:
To může být považováno za zobecnění, protože pokud jsou reálné, pak podle Proposition 1,
jsou komplexní čísla, pak
Výše uvedené ukazuje, že vzdálenost „absolutní hodnoty“ u reálných čísel nebo komplexních čísel souhlasí se standardní euklidovskou vzdáleností, kterou dědí v důsledku toho, že je považují za jednorozměrný a dvourozměrný euklidovský prostor.
Vlastnosti absolutní hodnoty rozdílu dvou reálných nebo komplexních čísel: non-negativita, identita indiscernibles, symetrie a trojúhelník nerovnost uveden v Propozice 2 a 3 výše, lze považovat za motivovat obecnější pojem funkce vzdálenosti takto:
Reálná hodnota funkce na soubor se nazývá vzdálenost funkce (nebo metrika) pro , Pokud splňuje následující čtyři axiomy:
Derivace funkce reálné absolutní hodnoty je funkce signum, sgn(x), která je definována jako
pro x ≠ 0. Funkce absolutní hodnoty není diferencovatelná při x = 0. Pokud funkce absolutní hodnoty reálného čísla vrací hodnotu bez ohledu na její znaménko, funkce signum vrací znaménko čísla bez ohledu na jeho hodnotu. Proto x = sgn(x)abs(x). Funkce signum je formou funkce Heavisideovy stupnice používané při zpracování signálu, definované jako:
Kde hodnota Heavisideovy funkce na nule je konvenční. Takže máme ve všech nenulových bodech na reálné číselné přímce,
Funkce absolutní hodnoty je také integrální. Její primitivní je
Základní vlastnosti absolutní hodnoty pro reálná čísla uvedené v Propozici 2 výše, mohou být použity k zobecnění pojmu absolutní hodnoty na libovolné pole, takto.
Reálná hodnota funkce na poli se nazývá absolutní hodnota (také modul, velikost, hodnota nebo ocenění), pokud splňuje následující čtyři axiomy:
Kde označuje aditivní identitní prvek . Z pozitivní-definiteness a multiplikativnosti vyplývá, že , Kde označuje multiplikativní identitní prvek . Reálné a komplexní absolutní hodnoty definované výše jsou příklady absolutních hodnot pro libovolné pole.
Pokud je absolutní hodnota na , Pak funkce na , Definováno , Je metrika a následující jsou ekvivalentní:
Absolutní hodnota, která splňuje jakékoliv (tedy všechny) z výše uvedených podmínek je prý non-Archimedean, jinak se říká, že je Archimedean.
Opět základní vlastnosti absolutní hodnoty pro reálná čísla lze použít, s mírnou úpravou, zobecnit pojem na libovolný vektorový prostor.
Pro všechny v , A , V ,
Norma vektoru se také nazývá jeho délka nebo velikost.
V případě euklidovského prostoru Rn, funkce definovaná
V programovacím jazyce C vypočítávají absolutní hodnotu operandu funkce abs(), labs(), llabs() (v C99), fabs(), fabsf() a fabsl(). Kódování celočíselné verze funkce je triviální, ignoruje se hraniční případ, kdy je zadáno největší záporné celé číslo:
Verze s plovoucí desetinnou čárkou jsou složitější, protože se musí potýkat se speciálními kódy pro nekonečno a ne-a-čísla.
Funkce pro absolutní hodnotu ve Fortranu, Matlabu a GNU_Octave je abs. Zpracovává celočíselná, reálná i komplexní čísla.
Pomocí jazyka symbolických adres je možné absolutní hodnotu registru odvodit pouze ve třech instrukcích (příklad znázorněn pro 32bitový registr na x86 architektuře, Intel syntax):
cdq rozšiřuje znaménkový bit eaxu na edx. Je-li eax nezáporný, pak se z edx stane nula a poslední dva instrukce nemají žádný účinek, takže eax zůstává nezměněn. Je-li eax záporný, pak se z edx stane 0xFFFFFFFF nebo -1. Další dva instrukce se pak stanou inverzí dvojkového komplementu, což dává absolutní hodnotu záporné hodnoty v eaxu.