Je možné matematicky modelovat průběh většiny infekčních onemocnění, aby se zjistil pravděpodobný výsledek epidemie nebo aby se pomohlo jejich zvládnutí očkováním. Tento článek používá některé základní předpoklady a některé jednoduché matematické výpočty k nalezení parametrů pro různá infekční onemocnění a k použití těchto parametrů k provedení užitečných výpočtů o účincích hromadného očkovacího programu.
Kdykoliv něco modelujeme matematicky, ať už v epidemiologii nebo jinak, bylo by moudré mít na paměti, že matematický model je jen tak dobrý, jako předpoklady, na kterých je založen. Pokud model dělá předpovědi, které nejsou v souladu s pozorovanými výsledky a matematika je správná, musíme se vrátit a změnit naše počáteční předpoklady, aby byl model užitečný.
Infekční onemocnění je prý endemické, pokud může být udržováno v populaci bez nutnosti vnějších vstupů. To znamená, že v průměru každá nakažená osoba nakazí přesně jednu další osobu (čím více, tím více nakažených lidí exponenciálně vzroste a nastane epidemie, čím méně, tím nemoc vymře). Z matematického hlediska to znamená:
Základní reprodukční číslo (R0) nemoci za předpokladu, že všichni jsou vnímaví, vynásobené podílem populace, která je skutečně vnímavá (S), musí být jedna (protože ti, kteří nejsou vnímaví, v našich výpočtech nefigurují, protože nemohou nemoc nakazit). Všimněme si, že tento vztah znamená, že aby byla nemoc v endemickém ustáleném stavu, čím vyšší je základní reprodukční číslo, tím nižší musí být podíl populace vnímavé a naopak; matematický základ pro výsledek, který mohl být intuitivně zřejmý.
První předpoklad (výše) nám umožňuje říci, že všichni v populaci se dožijí věku L a poté zemřou. Je-li průměrný věk infekce A, pak jsou v průměru jedinci mladší než A vnímaví a jedinci starší než A jsou imunní (nebo infekční). Podíl populace, která je vnímavá, je tedy dán:
Matematická definice endemického ustáleného stavu však může být přeskupena tak, aby dávala:
A proto, protože věci rovnající se jedné věci jsou si rovny:
To nám poskytuje jednoduchý způsob, jak odhadnout parametr R0 pomocí snadno dostupných dat.
V populaci s exponenciálním věkovým rozložením
U populace s exponenciálním věkovým rozložením se ukazuje, že
Matematika potřebná k jejímu výpočtu je trochu složitější, než je uvedeno výše, a tedy nad rámec tohoto článku. To však umožňuje vypočítat základní reprodukční číslo nemoci dané A a L v obou typech populační distribuce.
Matematika hromadného očkování
Pokud podíl populace, která je imunní, překročí úroveň imunity stáda proti této nemoci, pak nemoc již nemůže v populaci přetrvávat. Pokud tedy může být tato úroveň překročena očkováním, může být nemoc odstraněna. Příkladem toho, že se to podařilo na celém světě, je celosvětová eradikace pravých neštovic s posledním divokým případem v roce 1977. V současné době WHO provádí podobnou vakcinační kampaň ve snaze vymýtit obrnu.
Úroveň imunity stáda bude označena q. Připomeňte si, že pro stabilní stav:
Nezapomeňte, že toto je prahová hodnota. Pokud podíl imunitních jedinců tuto hodnotu překročí díky hromadnému očkovacímu programu, nemoc vymře.
Právě jsme vypočítali kritický imunizační práh (značený qc). Je to minimální podíl populace, která musí být imunizována při narození (nebo těsně před narozením), aby infekce v populaci vymřela.
Když hromadný očkovací program nemůže přesáhnout imunitu stáda
Pokud je použitá vakcína nedostatečně účinná nebo nelze dosáhnout požadovaného pokrytí (například kvůli lidové rezistenci), nemusí být program schopen překročit qc. Takový program však může narušit rovnováhu infekce, aniž by ji eliminoval, což často způsobuje nepředvídatelné problémy.
Předpokládejme, že část populace q (kde q < qc) je při narození imunizována proti infekci R0>1. Očkovací program mění R0 na Rq kde
K této změně dochází jednoduše proto, že v populaci je nyní méně náchylných jedinců, kteří mohou být infikováni. Rq je jednoduše R0 minus ti, kteří by normálně byli infikováni, ale to nemůže být nyní, protože jsou imunní.
V důsledku tohoto nižšího základního reprodukčního čísla se také změní průměrný věk infekce A na nějakou novou hodnotu Aq u těch, kteří zůstali neočkovaní.
Připomeňme si vztah, který spojoval R0, A a L. Za předpokladu, že se střední délka života nezměnila, nyní:
Očkovací program tak vyvolá zvýšení průměrného věku nakažených, což je další matematické zdůvodnění výsledku, který mohl být intuitivně zřejmý. Neočkovaní jedinci nyní pociťují sníženou sílu nakažení v důsledku přítomnosti očkované skupiny.
Je však důležité vzít tento účinek v úvahu při očkování proti nemocem, jejichž závažnost se s věkem zvyšuje. Očkovací program proti takové nemoci, která nepřevyšuje qc, může způsobit více úmrtí a komplikací, než tomu bylo před uvedením programu v platnost, protože jedinci se budou touto nemocí nakazit později v životě. Tyto nepředvídané výsledky očkovacího programu se nazývají zvrácené účinky.
Když hromadný očkovací program přesáhne imunitu stáda
Pokud očkovací program způsobí, že podíl imunitních jedinců v populaci překročí kritickou prahovou hodnotu po značně dlouhou dobu, přenos infekčního onemocnění v této populaci se postupně zastaví. Tento postup je znám jako eliminace infekce a liší se od eradikace.