Monografie Kennetha Arrowa Sociální volba a individuální hodnoty (1951, 2. vyd., 1963) a teorém v ní vytvořily moderní teorii sociální volby, důsledné spojení sociální etiky a teorie hlasování s ekonomickým nádechem. Poněkud formálně „sociální volba“ v názvu odkazuje na Arrowovu reprezentaci toho, jak by sociální hodnoty ze souboru individuálních uspořádání byly realizovány podle ústavy. Intuitivně každá sociální volba odpovídá proveditelnému souboru zákonů schválených „hlasováním“ (soubor uspořádání) podle ústavy, i když ne každý jednotlivec hlasoval pro všechny zákony.
Kniha vyvrcholila tím, co Arrow nazval „Teorem obecné možnosti“, později známějším jako Arrowův (nemožnostní) teorém. Věta ukazuje, že při neexistenci omezení individuálních preferencí nebo neutrality ústavy, pokud jde o proveditelné alternativy, neexistuje žádné pravidlo společenské volby, které by splňovalo soubor zdánlivě přijatelných požadavků. Výsledkem je zobecnění a rozšíření hlasovacího paradoxu, což ukazuje, že většinové hlasování nemusí přinést stabilní výsledek.
Úvod staví do protikladu hlasování v politické sféře a trhy v ekonomické sféře s diktaturou a společenskými konvencemi (například z náboženského kodexu). To vše jsou způsoby společenského rozhodování. Hlasování a trhy však v jistém smyslu usnadňují společenskou volbu, neboť ji diktatura a konvence omezují. První z nich slučuje možná odlišné chutě učinit společenskou volbu. Obava se týká formálních aspektů zobecňování takových voleb. V tomto ohledu je to srovnatelné s analýzou hlasovacího paradoxu z použití většinového pravidla jako hodnoty.
Kniha se ptá, zda jiné metody agregace chuti (ať už hlasováním nebo trhy), využívající jiné hodnoty, problém napravují nebo jsou uspokojivé jiným způsobem. Zde je logickou konzistencí jedna kontrola přijatelnosti všech hodnot. Pro zodpovězení otázek navrhuje Šíp odstranit rozdíl mezi hlasováním a trhy ve prospěch obecnější kategorie kolektivní sociální volby.
Analýza používá ordinální žebříčky individuální volby k reprezentaci vzorců chování. Kardinálním měřítkům individuální užitečnosti a tím spíše mezilidským srovnáním užitečnosti se vyhýbáme z důvodu, že taková měřítka nejsou nezbytná k reprezentaci chování a závisejí na vzájemně neslučitelných hodnotových úsudcích (str. 9).
Po Abramu Bergsonovi, jehož formulace funkce sociální péče odstartovala ordinalistickou ekonomii sociální péče, se Šíp vyhýbá hledání sociálního dobra jako nezávislého na individuálních hodnotách. Spíše sociální hodnoty v akcích brání pravidlům společenského rozhodování (hypostatizovaným jako ústavní podmínky) a používají individuální hodnoty jako vstup. Potom „sociální hodnoty“ neznamenají „nic jiného než sociální volby“ (str.106)
Témata, která jsou do toho zapletena, zahrnují teorii her, princip kompenzace v ekonomice blahobytu, rozšířené sympatie, Liebnizův princip identity indiscernibles, logrolling a podobnost sociálních úsudků prostřednictvím preferencí s jedním vrcholem, Kantův kategorický imperativ nebo rozhodovací proces.
Kniha definuje několik pojmů a logických symbolů, které byly použity poté, a jejich aplikovanou empirickou interpretaci (str. 11-19, 23). Klíčové mezi nimi je „hlasování“ („soubor uspořádání“) společnosti (obecněji „kolektivita“) složené z jednotlivců („voliči“ zde) v následující podobě:
Obsáhlý charakter komodit, soubor sociálních stavů a soubor uspořádání zaznamenali první recenzenti.
2 vlastnosti, které definují jakékoliv uspořádání dané množiny objektů (všechny sociální stavy zde) jsou:
Dřívější definice objednávání znamená, že jakékoli dané objednávání zahrnuje 1 ze 3 odpovědí na „hlasovacím lístku“ mezi jakoukoli dvojicí sociálních stavů (x, y): lepší než, stejně dobrý jako, nebo horší než (v preferenčním pořadí). (Zde „stejně dobrý jako“ je „stejně hodnocený“, ne „nevím“, vztah.)
Pro odvození důsledků je vhodné zkomprimovat první 2 z těchto možností na hlasovacím lístku na 1, což je vztah „přinejmenším stejně dobrý jako“, označený R:
Výše uvedené 2 vlastnosti řazení jsou pak axiomatizovány jako:
propojenost: Pro všechny (objekty volby v sadě) x a y, buď x R y nebo y R x.
přechodovost: Pro všechna x, y a z, x R y a y R z znamená x R z.
Tedy střídání (‚nebo‘) a konjunkce (‚a‘) vztahů R představují obě vlastnosti uspořádání pro všechny objekty volby.
Vztahy I a P jsou pak definovány takto:
x I y: x R y a y R x (x tak dobré jako y znamená x alespoň tak dobré jako y a naopak).
x P y: ne y R x (y R x zahrnuje 1 ze 2 možností. Vyloučení této možnosti ponechává na hlasovacím lístku pouze x P y, třetí z původních 3 možností.)
Z toho konjunkce (‚a‘) a negace (‚ne‘) pouhých párových vztahů R může (také) reprezentovat všechny vlastnosti uspořádání pro všechny objekty volby. Proto následující zkratka.
Řazení voliče se označuje písmenem R. Řazení voliče i se označuje indexem jako .
Pokud volič i změní pořadí, prvočísla rozlišují první a druhé, řekněme ve srovnání s ‚ . Stejná notace může platit pro 2 různá hypotetická pořadí stejného voliče.
Zájem knihy spočívá ve slučování souborů uspořádání. Toho se dosahuje prostřednictvím „konstituce“.
Společenské uspořádání ústavy se označuje jako R. (Kontext nebo dolní index odlišuje voliče objednávajícího R od stejného symbolu pro společenské uspořádání.)
Pro jakékoliv 2 sociální stavy x a y daného společenského uspořádání R:
x P y je „sociální preference“ x lomeno y (x je zvoleno nad y pravidlem).
x I y je „sociální lhostejnost“ mezi x a y (obě jsou podle pravidla seřazeny stejně).
x R y je buď „sociální preference“ x nad y nebo „sociální lhostejnost“ mezi x a y (x je podle pravidla hodnoceno nejméně jako y).
Společenské uspořádání platí pro každé uspořádání v množině uspořádání (odtud „sociální“ část a s ní spojené slučování). A to bez ohledu na (ne)podobnost mezi společenským uspořádáním a jakýmkoli nebo všemi uspořádáními v množině. Šíp však zasazuje ústavu do kontextu ordinalistické ekonomie blahobytu, která se snaží koherentním, věrohodným způsobem agregovat různé chutě.
Šipka (str. 15, 26-28) ukazuje, jak přejít od sociálního uspořádání R pro danou sadu uspořádání k určité ‚sociální volbě‘ tím, že specifikuje:
Sociální uspořádání R pak vybírá z podmnožiny jako sadu sociální volby nejvýše postavený sociální stát (státy).
Méně neformálně, funkce sociální volby je funkce mapující každé prostředí S dostupných sociálních stavů (alespoň 2) pro danou množinu uspořádání (a odpovídající sociální uspořádání R) do množiny sociální volby, množina sociálních stavů, z nichž každý prvek je nejvýše umístěn (podle R) pro dané prostředí a tuto množinu uspořádání.
Funkce sociální volby je označena C(S). Vezměme si prostředí, které má jen 2 sociální stavy, x a y: C(S) = C([x, y]). Předpokládejme, že x je jediný sociální stav s nejvyšším postavením. Potom C([x, y]) = {x}, sada sociální volby. Pokud jsou x a y místo toho svázány, C([x, y]) = {x, y}. Formálně (str. 15), C(S) je sada všech x v S taková, že pro všechna y v S, x R y („x je alespoň tak dobré jako y“).
Následující část se odvolává na následující. Nechť R a R‘ představují sociální uspořádání konstituce odpovídající jakýmkoli 2 souborům uspořádání. Jestliže R a R‘ pro stejné prostředí S mapují ke stejné sociální volbě (stejným sociálním volbám), vztah identických sociálních voleb pro R a R‘ je reprezentován jako: C(S) = C'(S).
Ústava by se mohla jevit jako slibná alternativa k diktatuře a sociálním konvencím imunním vůči volbám nebo vnější kontrole. Šíp popisuje propojenost společenského uspořádání jako požadavek pouze na to, aby byla učiněna nějaká společenská volba z jakéhokoli prostředí dostupných sociálních stavů. Protože nějaký sociální stav zvítězí, je těžké to popřít (zvláště když na hlasovacím lístku není místo pro zdržení se). Přechodnost společenského uspořádání má výhodu oproti požadavku jednomyslnosti (nebo mnohem méně) na změnu mezi sociálními stavy, pokud existuje nepřizpůsobivý status quo (tedy jeden subjekt „demokratické paralýzy“). Bez patové situace přechodovost vytěsňuje jakoukoli zmínku o statu quo jako privilegovaném selhání blokujícím cestu ke společenské volbě (str. 120).
Arrow navrhuje podmínky pro omezení společenského uspořádání (společenských uspořádání) ústavy (s. 96-97, 25-31). Podmínky, prezentované níže, lze interpretovat jako obecné, prakticky nezbytné nebo zjevně rozumné.
Každý volič je ústavou oprávněn seřadit množinu společenských stavů v libovolném pořadí, i když pouze s jedním pořadím na voliče pro danou množinu pořadí.
Šíp popisuje tento stav jako rozšíření ordinalismu s důrazem na prospektivně pozorovatelné chování (pro danou podmnožinu). Připisuje praktické výhody podmínce z „každého známého volebního systému“, který ji splňuje (str. 110)
Podmínky, zejména ty druhé a třetí, se mohou zdát minimální, ale společně jsou tvrdé:
Alternativní výrok věty přidává k výše uvedenému následující podmínku:
# Pareto je silnější, než je nutné v důkazu o věta, která následuje výše. Arrow (1951) používá 2 další podmínky, místo Pareto, že s (2) výše znamená Pareto (Arrow, 1987, str. 126):
Arrow (1951, str.26) zde popisuje sociální blahobyt jako alespoň ne negativně související s individuálními preferencemi.
Při uložení, pro každou sadu uspořádání v doméně, sociální pořadí je pouze x R y. Hlasování nemá žádný vliv na výsledek.
Důkaz je rozdělen do dvou částí (Šíp, 1963, s. 97-100). První část se zabývá hypotetickým případem uspořádání nějakého jednoho voliče, které převažuje („je rozhodující“), pokud jde o společenskou volbu pro nějakou dvojici sociálních států bez ohledu na to, čemu daný volič dává přednost, navzdory všem ostatním voličům, kteří jsou proti. Je prokázáno, že pro ústavu uspokojující Neomezenou doménu, Pareta a Nezávislost by toto uspořádání voliče mělo přednost pro každou dvojici sociálních států bez ohledu na uspořádání ostatních. Volič by tedy byl diktátor. Nekontaktorství tedy vyžaduje postulovat, že by nikdo tak nezvítězil ani pro jednu dvojici sociálních států.
Druhá část se obecněji zabývá souborem voličů, kteří by u některých párů sociálních států zvítězili, navzdory tomu, že všichni ostatní voliči (pokud nějací) preferují něco jiného. Pareto a Neomezená doména pro ústavu znamenají, že taková množina by zahrnovala alespoň celou množinu voličů. Podle Neomezenosti musí mít množina alespoň 2 voliče. Mezi všemi takovými množinami postulujte množinu tak, aby žádná jiná množina nebyla menší. Takovou množinu lze zkonstruovat s Neomezenou doménou a úpravou hlasovacího paradoxu tak, aby implikovala ještě menší množinu. To je v rozporu s postulátem a tak dokazuje teorém.
Shrnutí, kontext a následné efekty
Kniha navrhuje některé na první pohled rozumné podmínky pro „hlasovací“ pravidlo, zejména „ústavu“, která by ve welfaristickém kontextu činila konzistentní, proveditelná společenská rozhodnutí. Ale pak každá ústava, která umožňuje diktaturu, to vyžaduje a každá ústava, která vyžaduje nondiktaturu, je protichůdná. Odtud paradox společenské volby.
Mohlo by se zdát, že věta rozpletla přadeno sociálně-etické teorie založené na chování od Adama Smithe a Benthama dál. Sám Arrow však na konci své přednášky o Nobelově ceně vyjadřuje naději, že by ostatní mohli jeho výsledek brát „spíše jako výzvu než jako odrazující bariéru“.
Rozsáhlá následná literatura zahrnovala přeformulování za účelem rozšíření, oslabení nebo nahrazení podmínek a odvození důsledků. V tomto ohledu byl Arrowův rámec nástrojem pro zobecnění teorie hlasování a kritické hodnocení a rozšíření ekonomické politiky a teorie sociální volby.