První čtyři dílčí součty Fourierovy řady pro čtvercovou vlnu
V matematice Fourierova řada rozkládá periodické funkce nebo periodické signály na součet (případně nekonečné) množiny jednoduchých kmitajících funkcí, konkrétně sinusů a kosinusů (nebo komplexních exponenciál). Studium Fourierových řad je odvětvím Fourierovy analýzy.
Fourierova řada je pojmenována na počest Jeana-Baptisty Josepha Fouriera (1768-1830), který významně přispěl ke studiu trigonometrických řad po předběžných výzkumech Leonharda Eulera, Jeana le Ronda d’Alemberta a Daniela Bernoulliho.[nb 1] Fourier zavedl řady pro účely řešení rovnice tepla v kovové desce, přičemž své první výsledky publikoval v roce 1807 ve svém díle Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides (Pojednání o šíření tepla v pevných tělesech) a v roce 1822 vydal svou Théorie analytique de la chaleur. Rané myšlenky rozkladu periodické funkce na součet jednoduchých kmitavých funkcí pocházejí ze 3. století př. n. l., kdy antičtí astronomové navrhli empirický model pohybů planet založený na deferentech a epicyklech.
Z moderního pohledu jsou Fourierovy výsledky poněkud neformální, protože na počátku 19. století neexistoval přesný pojem funkce a integrálu. Později Peter Gustav Lejeune Dirichlet a Bernhard Riemann vyjádřili Fourierovy výsledky s větší přesností a formálností.
Ačkoli původní motivací bylo řešení rovnice tepla, později se ukázalo, že stejné techniky lze použít na širokou škálu matematických a fyzikálních problémů, a to zejména těch, které zahrnují lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty, pro které jsou vlastními řešeními sinusoidy. Fourierova řada má mnoho takových aplikací v elektrotechnice, analýze vibrací, akustice, optice, zpracování signálů, zpracování obrazu, kvantové mechanice, ekonometrii, teorii tenkostěnných skořepin atd.
Po vynásobení obou stran číslem , a následném integrování od do získáme:
-Joseph Fourier, Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides (1807)[nb 2].
Tím okamžitě získáme libovolný koeficient ak trigonometrické řady pro φ(y) pro libovolnou funkci, která má takovéto rozšíření. Funguje to, protože pokud φ má takové rozšíření, pak (za vhodných předpokladů konvergence) integrál
lze provádět termín po termínu. Všechny členy zahrnující pro j ≠ k však při integraci od -1 do 1 zmizí a zůstane pouze k-tý člen.
Těmito několika řádky, které jsou blízké modernímu formalismu používanému ve Fourierových řadách, Fourier způsobil revoluci v matematice i fyzice. Ačkoli podobné trigonometrické řady již dříve používali Euler, d’Alembert, Daniel Bernoulli a Gauss, Fourier věřil, že tyto trigonometrické řady mohou reprezentovat libovolnou funkci. V jakém smyslu je to vlastně pravda, je poněkud subtilní otázka a mnohaleté pokusy o objasnění této myšlenky vedly k důležitým objevům v teorii konvergence, prostoru funkcí a harmonické analýzy.
Když Fourier v roce 1811 předložil pozdější soutěžní esej, komise (v níž byli mimo jiné Lagrange, Laplace, Malus a Legendre) dospěla k závěru: …způsob, jakým autor dospěl k těmto rovnicím, není zbaven obtíží a… jeho analýza k jejich integraci stále ponechává něco, co by bylo žádoucí, pokud jde o obecnost a dokonce i přísnost.[potřebná citace].
Zrod harmonické analýzy
Od Fourierových dob bylo objeveno mnoho různých přístupů k definici a pochopení pojmu Fourierovy řady, které jsou navzájem konzistentní, ale každý z nich zdůrazňuje jiné aspekty tohoto tématu. Některé z těch silnějších a elegantnějších přístupů jsou založeny na matematických myšlenkách a nástrojích, které v době, kdy Fourier dokončil svou původní práci, nebyly k dispozici. Fourier původně definoval Fourierovu řadu pro funkce reálných hodnot s reálnými argumenty a jako základní množinu pro rozklad použil funkce sinus a kosinus.
Od té doby bylo definováno mnoho dalších Fourierových transformací, které rozšířily původní myšlenku na další aplikace. Tato obecná oblast zkoumání se nyní někdy nazývá harmonická analýza. Fourierovu řadu však lze použít pouze pro periodické funkce nebo pro funkce na ohraničeném (kompaktním) intervalu.
V této části označujeme f(x) funkci reálné proměnné x. Tuto funkci obvykle považujeme za periodickou s periodou 2π, což znamená, že f(x + 2π) = f(x) pro všechna reálná čísla x. Pokusíme se takovou funkci zapsat jako nekonečný součet nebo řadu jednodušších 2π-periodických funkcí. Začneme nekonečným součtem sinusových a kosinusových funkcí na intervalu [-π, π], jak to udělal Fourier (viz citát výše), a pak budeme diskutovat různé formulace a zobecnění.
Fourierův vzorec pro 2π-periodické funkce pomocí sinusů a kosinusů
Fourierova analýza spojuje časovou oblast funkce, která je znázorněna červeně, s frekvenční oblastí funkce, která je znázorněna modře. Frekvence složek rozložené ve frekvenčním spektru jsou ve frekvenční oblasti znázorněny jako vrcholy.
Pro periodickou funkci f(x), která je integrovatelná na [-π, π], platí čísla
se nazývají Fourierovy koeficienty f. Zavádějí se dílčí součty Fourierových řad pro f, často označované jako
Dílčí součty pro f jsou trigonometrické polynomy. Dá se očekávat, že funkce SN f aproximují funkci f a že se aproximace zlepšuje s N → ∞. Nekonečný součet
se nazývá Fourierova řada funkce f. Tyto trigonometrické funkce lze samy o sobě rozšířit pomocí vzorců pro násobné úhly.
Fourierova řada nekonverguje vždy, a i když konverguje pro určitou hodnotu x0 x, může se součet řady v bodě x0 lišit od hodnoty f(x0) funkce. Jednou z hlavních otázek harmonické analýzy je rozhodnout, kdy Fourierova řada konverguje a kdy je její součet roven původní funkci. Je-li funkce čtvercově integrovatelná na intervalu [-π, π], pak Fourierova řada konverguje k funkci téměř v každém bodě. V technických aplikacích se obecně předpokládá, že Fourierova řada konverguje všude kromě nespojitostí, protože funkce, se kterými se v technice setkáváme, se chovají lépe než ty, které mohou matematici uvést jako protipříklad k tomuto předpokladu. Konkrétně Fourierova řada konverguje absolutně a rovnoměrně k f(x) vždy, když je derivace f(x) (která nemusí existovat všude) čtvercově integrovatelná. Viz Konvergence Fourierových řad.
Je možné definovat Fourierovy koeficienty pro obecnější funkce nebo rozdělení, v takových případech je obvykle zajímavá konvergence v normě nebo slabá konvergence.
Příklad 1: jednoduchá Fourierova řada
Graf periodické funkce identity – pilovitá vlna
Animovaný graf prvních pěti po sobě jdoucích dílčích Fourierových řad
Nyní použijeme výše uvedený vzorec pro rozklad Fourierovy řady velmi jednoduché funkce. Uvažujme pilovitou vlnu
V tomto případě jsou Fourierovy koeficienty dány vztahem
Lze dokázat, že Fourierova řada konverguje k f(x) v každém bodě x, kde je f diferencovatelná, a proto:
Když x = π, Fourierova řada konverguje k 0, což je poloviční součet levé a pravé meze f při x = π. To je zvláštní případ Dirichletovy věty pro Fourierovy řady.
Příklad 2: Fourierova motivace
Rozložení tepla v kovové desce pomocí Fourierovy metody
Další aplikací této Fourierovy řady je řešení Basilejského problému pomocí Parsevalovy věty. Příklad se zobecňuje a lze vypočítat ζ(2n) pro libovolné kladné celé číslo n.
Exponenciální Fourierova řada
Můžeme použít Eulerův vzorec,
kde i je imaginární jednotka, aby byl vzorec stručnější:
Za předpokladu, že f(x) je periodická funkce s T = 2π, jsou Fourierovy koeficienty dány:
Fourierovy koeficienty an, bn, cn souvisí prostřednictvím
Zápis cn je pro diskusi o Fourierových koeficientech několika různých funkcí nevhodný. Proto se obvykle nahrazuje upraveným tvarem f (v tomto případě), například nebo F, a funkční zápis často nahrazuje indexování:
V technice, zejména pokud proměnná x představuje čas, se posloupnost koeficientů nazývá reprezentace ve frekvenční oblasti. Často se používají hranaté závorky, aby se zdůraznilo, že doménou této funkce je diskrétní množina frekvencí.
Fourierovy řady na obecném intervalu [a, a + τ]
Následující vzorec s příslušnými komplexně vyjádřenými koeficienty G[n] je periodická funkce s periodou τ na celém R:
Je-li funkce čtvercově integrovatelná v intervalu [a, a + τ], lze ji v tomto intervalu znázornit výše uvedeným vzorcem. Tj. pokud jsou koeficienty odvozeny z funkce h(x) následujícím způsobem:
Další běžně používaná reprezentace ve frekvenční oblasti využívá koeficienty Fourierovy řady k modulaci Diracova hřebene:
kde proměnná f představuje spojitou frekvenční oblast. Pokud má proměnná x jednotky sekund, má proměnná f jednotky hertzů. „Zuby“ hřebene jsou rozmístěny po násobcích (tj. harmonických) 1/τ, což se nazývá základní frekvence. g(x) lze z této reprezentace získat inverzní Fourierovou transformací:
Funkce G(f) se proto běžně označuje jako Fourierova transformace, přestože Fourierův integrál periodické funkce není na harmonických frekvencích konvergentní.[nb 3]
Fourierova řada na čtverci
Fourierovu řadu můžeme definovat také pro funkce dvou proměnných x a y ve čtverci [-π, π]×[-π, π]:
Kromě toho, že jsou užitečné pro řešení parciálních diferenciálních rovnic, jako je například rovnice tepla, je jednou z významných aplikací Fourierových řad na čtverci komprese obrazu. Konkrétně standard komprese obrazu jpeg používá dvourozměrnou diskrétní kosinovou transformaci, což je Fourierova transformace využívající kosinové bázové funkce.
Fourierova řada Bravaisovy mřížkové periodické funkce
Bravaisova mřížka je definována jako množina vektorů tvaru:
kde ni jsou celá čísla a ai jsou tři lineárně nezávislé vektory. Za předpokladu, že máme nějakou funkci f(r) takovou, že pro libovolný vektor Bravaisovy mřížky R splňuje následující podmínku: f(r) = f(r+R), mohli bychom z ní sestavit Fourierovu řadu. Takovou funkcí může být například efektivní potenciál, který „cítí“ jeden elektron uvnitř periodického krystalu. Při aplikaci Blochovy věty je pak užitečné vytvořit Fourierovu řadu potenciálu. Nejprve můžeme zapsat libovolný vektor r v souřadnicovém systému mřížky:
Můžeme tedy definovat novou funkci,
Tato nová funkce , je nyní funkcí tří proměnných, z nichž každá má periodicitu a1, a2, a3 v tomto pořadí: .
Zapíšeme-li pro x1 řadu g na intervalu [0, a1], můžeme definovat následující:
G můžeme opět zapsat jako:
A nakonec použijeme totéž pro třetí souřadnici a definujeme:
Nyní lze každý reciproční mřížkový vektor zapsat jako , kde li jsou celá čísla a gi jsou reciproční mřížkové vektory, můžeme využít toho, že k výpočtu, že pro libovolný reciproční mřížkový vektor K a libovolný vektor v prostoru r je jejich skalární součin:
A tak je zřejmé, že v našem rozšíření jde vlastně o součet nad recipročními mřížovými vektory:
můžeme tuto soustavu tří lineárních rovnic pro x, y a z vyřešit pomocí x1, x2 a x3 a vypočítat tak objemový prvek v původním kartézském souřadném systému. Jakmile máme x, y a z v termínech x1, x2 a x3, můžeme vypočítat jakobsonův determinant:
Což po určitém výpočtu a použití některých netriviálních křížových součinových identit lze ukázat jako rovné:
(pro zjednodušení výpočtů může být výhodné pracovat v takové kartézské soustavě souřadnic, v níž je a1 rovnoběžné s osou x, a2 leží v rovině x-y a a3 má složky všech tří os). Jmenovatel je přesně objem primitivní jednotkové buňky, která je uzavřena třemi primitivními vektory a1, a2 a a3. Konkrétně nyní víme, že
A C je primitivní jednotková buňka, tedy objem primitivní jednotkové buňky.
Interpretace Hilbertova prostoru
V jazyce Hilbertových prostorů je množina funkcí {en = einx; n ∈ Z} ortonormální bází pro prostor L2([-π, π]) čtvercově integrovatelných funkcí [-π, π]. Tento prostor je vlastně Hilbertův prostor s vnitřním součinem daným pro libovolné dva prvky f a g vztahem:
Základní výsledek Fourierovy řady pro Hilbertovy prostory lze zapsat jako
Sinusy a kosinusy tvoří ortonormální množinu, jak je znázorněno výše. Integrál sinusovky, kosinusovky a jejich součinu je nulový (zelená a červená plocha se rovnají a ruší), pokud jsou m, n nebo funkce různé, a pí pouze tehdy, pokud jsou m a n stejné a použitá funkce je stejná.
To přesně odpovídá výše uvedené komplexní exponenciální formulaci. Verze se sinusy a kosinusy je rovněž odůvodněná interpretací Hilbertova prostoru. Sinusy a kosinusy totiž tvoří ortogonální množinu:
(kde δmn je Kroneckerova delta) a
navíc jsou sinusy a kosinusy ortogonální ke konstantní funkci 1. Ortonormální báze pro L2([-π, π]) složená z reálných funkcí je tvořena funkcemi 1 a √2 cos(nx), √2 sin(nx) pro n = 1, 2,…. Hustota jejich rozpětí je důsledkem Stoneovy-Weierstrassovy věty, ale vyplývá také z vlastností klasických jader, jako je Fejérovo jádro.
Říkáme, že f patří do, pokud f je 2π-periodická funkce na R, která je k-krát diferencovatelná a její k-tá derivace je spojitá.
Jednou ze zajímavých vlastností Fourierovy transformace, o které jsme se zmínili, je, že přenáší konvoluce na bodové součiny. Pokud je to vlastnost, kterou se snažíme zachovat, lze Fourierovu řadu vytvořit na libovolné kompaktní grupě. Typickým příkladem jsou klasické grupy, které jsou kompaktní. Tím se Fourierova transformace zobecňuje na všechny prostory tvaru L2(G), kde G je kompaktní grupa, a to tak, že Fourierova transformace přenáší konvoluce na bodové součinové řady. Fourierova řada existuje a konverguje podobně jako v případě [-π, π].
Alternativním rozšířením na kompaktní grupy je Peterova-Weylova věta, která dokazuje výsledky o reprezentacích kompaktních grup analogické výsledkům o konečných grupách.
Atomové orbitaly v chemii jsou sférické harmonické a lze je použít k vytvoření Fourierovy řady na kouli.
Pokud doména není grupou, pak neexistuje žádná vnitřně definovaná konvoluce. Pokud je však X kompaktní Riemannova množina, má Laplaceův-Beltramiho operátor. Laplaceův-Beltramiho operátor je diferenciální operátor, který odpovídá Laplaceovu operátoru pro Riemannovu mnohost X. Analogicky pak lze uvažovat o tepelných rovnicích na X. Protože Fourier dospěl ke svému základu pokusem o řešení tepelné rovnice, přirozeným zobecněním je použít jako základ vlastní řešení Laplaceova-Beltramiho operátoru. Tím se Fourierovy řady zobecní na prostory typu L2(X), kde X je Riemannova mnohostěn. Fourierova řada konverguje podobně jako v případě [-π, π]. Typickým příkladem je vzít X jako kouli s obvyklou metrikou, v takovém případě se Fourierova báze skládá ze sférických harmonických.
Lokálně kompaktní abelovské grupy
Výše uvedené zobecnění na kompaktní grupy neplatí pro nekompaktní neabelové grupy. Existuje však přímé zobecnění na lokálně kompaktní abelovské grupy (LCA).
Tím se Fourierova transformace zobecní na L1(G) nebo L2(G), kde G je LCA grupa. Pokud je G kompaktní, získáme také Fourierovu řadu, která konverguje podobně jako v případě [-π, π], ale pokud je G nekompaktní, získáme místo toho Fourierův integrál. Toto zobecnění dává obvyklou Fourierovu transformaci, když je podkladovou lokálně kompaktní abelovskou grupou R.
Aproximace a konvergence Fourierových řad
Důležitou otázkou pro teorii i aplikace je otázka konvergence. Zejména v aplikacích je často nutné nahradit nekonečnou řadu konečnou řadou,
Tomu se říká částečný součet. Rádi bychom věděli, v jakém smyslu (SN f)(x) konverguje k f(x) s N → ∞.
Říkáme, že p je trigonometrický polynom stupně N, když má tvar
Všimněte si, že SN f je trigonometrický polynom stupně N. Z Parsevalovy věty vyplývá, že
Věta. Trigonometrický polynom SN f je jedinečný nejlepší trigonometrický polynom stupně N aproximující f(x) v tom smyslu, že pro libovolný trigonometrický polynom p ≠ SN f stupně N platí, že
kde norma Hilbertova prostoru je definována jako:
Díky vlastnosti nejmenších čtverců a úplnosti Fourierovy báze získáme elementární výsledek konvergence.
Věta. Jestliže f patří do L2([-π, π]), pak Fourierova řada konverguje k f v L2([-π, π]), tj. konverguje k 0 s N → ∞.
Již jsme se zmínili, že pokud je f spojitě diferencovatelná, pak je n-tý Fourierův koeficient derivace f′. Z Cauchyho-Schwarzovy nerovnosti v podstatě vyplývá, že Fourierova řada f je absolutně sčítatelná. Součet této řady je spojitá funkce, rovná f, protože Fourierova řada konverguje ve střední hodnotě k f:
Věta. Jestliže , pak Fourierova řada konverguje k f rovnoměrně (a tedy i bodově.)
Tento výsledek lze snadno dokázat, pokud se dále předpokládá, že f je C2, protože v takovém případě má tendenci k nule, když n → ∞. Obecněji platí, že Fourierova řada je absolutně sčítatelná, a tedy rovnoměrně konverguje k f, pokud f splňuje Hölderovu podmínku řádu α > ½. V absolutně sumovatelném případě nerovnost dokazuje rovnoměrnou konvergenci.
Je známo mnoho dalších výsledků týkajících se konvergence Fourierových řad, od velmi jednoduchého výsledku, že řada konverguje v bodě x, pokud je f v bodě x diferencovatelná, až po mnohem složitější výsledek Lennarta Carlesona, že Fourierova řada funkce L2 konverguje téměř všude.
Tyto věty a jejich neformální varianty, které nespecifikují podmínky konvergence, se někdy obecně označují jako „Fourierova věta“ nebo „Fourierova věta“.
Vzhledem k tomu, že Fourierovy řady mají tak dobré konvergenční vlastnosti, mnozí jsou často překvapeni některými negativními výsledky. Například Fourierova řada spojité T-periodické funkce nemusí bodově konvergovat. Princip rovnoměrné omezenosti poskytuje jednoduchý nekonstruktivní důkaz této skutečnosti.
V roce 1922 publikoval Andrej Kolmogorov článek s názvem „Une série de Fourier-Lebesgue divergente presque partout“, ve kterém uvedl příklad Lebesgueovy integrovatelné funkce, jejíž Fourierova řada se téměř všude rozchází. Později sestrojil příklad integrabilní funkce, jejíž Fourierova řada diverguje všude (Katznelson 1976).