Ve statistice, zpracování signálů a souvisejících oborech je aliasing jev, který způsobuje, že se různé spojité signály stanou nerozlišitelnými (nebo se navzájem aliasují) při vzorkování.
Aliasing také odkazuje na zkreslení nebo artefakt, který je způsoben vzorkováním signálu a jeho rekonstrukcí jako alias původního signálu.
V obou významech může aliasing probíhat buď v čase (temporální aliasing), nebo v prostoru (prostorové aliasing).
Aliasing je hlavním problémem při analogově-digitální konverzi video a audio signálů: nesprávné vzorkování analogového signálu způsobí, že vysokofrekvenční komponenty budou aliasovány s pravými nízkofrekvenčními a budou jako takové nesprávně rekonstruovány během následné digitálně-analogové konverze. Aby se tomuto problému předešlo, musí být vzorkovací frekvence dostatečně velká a signály musí být před vzorkováním vhodně filtrovány.
Aliasing je také hlavním problémem v digitálním zobrazování a počítačové grafice, kde může vyvolat moiré vzory, když je původní obraz jemně texturovaný, nebo zubaté obrysy, když má originál ostré kontrastní hrany. K omezení takových artefaktů se používají anti-aliasingové techniky.
Dva různé sinusoidy, které dávají stejné vzorky; vysoká frekvence (červená) a alias na (modrá).
Aliasing v periodických jevech
Pokud by někdo v tvídovém saku s výrazným vzorkem herringbonu byl natočen na video a video by se přehrálo na televizní obrazovce s menším počtem čar, než je obraz vzoru, nebo na počítačovém monitoru s pixely většími, než jsou prvky vzoru, pak by člověk viděl velké plochy temnoty a světlosti nad obrazem saka a ne nad vzorkem herringbonu. Toto je příklad prostorového aliasingu, známého také jako moiré vzor; jak vzniká, je znázorněno dále.
Odběr periodického signálu
Stejným způsobem, když sinusoidní signál naměřený nebo vzorkovaný v pravidelných, ale ne dostatečně blízkých intervalech, jeden získá stejnou posloupnost vzorků, které by byly získány ze sinusoidy o nižší frekvenci. Konkrétně, pokud sinusoid o frekvenci (v cyklech za sekundu pro časově proměnlivý signál, nebo v cyklech za centimetr pro prostorově proměnlivý signál) je vzorkované vzorky za sekundu nebo za centimetr, výsledné vzorky budou také kompatibilní s sinusoid o frekvenci a jeden z frekvence , Pro jakékoliv celé číslo . If , Nejnižší z těchto obrazových frekvencí bude původní frekvence signálu, ale jinak nebude. V případě, že , Nejnižší obrazové frekvence bude na , Nejnižší obrazová frekvence ve smyslu maskuje jako sinusoid, který byl vzorkován a je nazýván alias sinusoid, který byl skutečně vzorkován, i když nedostatečně vzorkován.
Použije-li se k rekonstrukci průběžného časového vlnění pomocí Whittakerova–Shannonova interpolačního vzorce nebo jinou metodou lowpassu sekvence vzorků, pak alias nejnižší frekvence bude ta, která se objeví v rekonstrukci. V těchto typických případech vzorkování rychlostí vyšší než dvojnásobek nejvyšší očekávané frekvence jakékoli sinusové složky ve vstupu obecně zabrání zkreslení známému jako aliasing. V jiných metodách rekonstrukce lze za vhodných omezujících podmínek aliasing v rekonstrukci zabránit za obecnějších podmínek uvedených níže, i když není větší než dvojnásobek frekvence signálu.
Rekreace Black’s Obr. 4-5 Minimální vzorkovací frekvence pro pásmo šířky B
Jedním ze způsobů, jak se takovému aliasingu vyhnout, je zajistit, aby signál neobsahoval žádnou sinusovou složku s frekvencí rovnající se nebo větší než . Obecněji lze tuto podmínku zobecnit tak, aby v nějakém pásmu nebo množině pásem byla energie taková, že v signálu nejsou přítomny žádné frekvence, které jsou vzájemnými aliasy vzhledem k vzorkovací frekvenci (podle výše uvedených vzorců pro všechny hodnoty ) signálu.
Tato podmínka se někdy nazývá Nyquistovo kritérium a odpovídá tvrzení, že četnost odběru vzorků musí být dostatečně vysoká; buď větší než dvojnásobek nejvyšší četnosti, nebo nějaké jiné složitější kritérium.
V případě jediného pásma šířky B s dolním a horním kmitočtovým limitem a , Kritérium bylo neúplně vysvětleno Haroldem Stephenem Blackem v jeho knize Teorie modulace z roku 1953. Kritérium, které uvádí, je, že minimální vzorkovací frekvence je , Kde je největší celé číslo nepřesahující . Viz graf vpravo, kde segmenty odpovídají celočíselným hodnotám počínaje 1. Upozorňuje však, že tato dolní hranice není dostatečnou podmínkou, protože vyšší vzorkovací frekvence povede v některých případech k aliasingu, jednoduše řečeno, „Je zřejmé, že ne všechny vyšší míry jsou nutně použitelné.“ Kompletnější kritérium je vysvětleno v Nyquistově-Shannonově vzorkovací větě#Undersampling.
Termín „aliasing“ je odvozen od použití v radioinženýrství, kde rádiový signál mohl být zachycen na dvou různých místech rádiového ciferníku v superheterodynovém rádiu: na jednom, kde byl lokální oscilátor nad rádiovou frekvencí, a na druhém, kde byl pod ní. To je analogické k frekvenčnímu prostoru „wrapround“, který je jedním ze způsobů, jak aliasing pochopit.
Kvalitativní účinky aliasingu jsou slyšet v následující zvukové ukázce. Hraje se postupně šest pilových zubů, přičemž první dva pilové zuby mají základní frekvenci 440 Hz (A4), druhé dva mají základní frekvenci 880 Hz (A5) a poslední dva při frekvenci 1760 Hz (A6). Pilové zuby se střídají mezi pásovými pilovými zuby (bez aliasu) a aliasovanými pilovými zuby a vzorkovací frekvence je 22,05 kHz. Pásové pilové zuby jsou syntetizovány z Fourierovy řady pilových zubů tak, že nejsou přítomny žádné harmonické frekvence nad Nyquistovou frekvencí.
Zkreslení aliasingu v nižších frekvencích je stále zřetelnější s vyššími základními frekvencemi, a zatímco pásový pilový zub je stále zřetelný na 1760 Hz, aliasovaný pilový zub je degradován a drsný s bzučením slyšitelným na frekvencích nižších než základní. Všimněte si, že zvukový soubor byl kódován pomocí Oggova Vorbisova kodeku, a jako takový je zvuk poněkud degradován.
Matematické vysvětlení aliasingu
Předchozí vysvětlení a Nyquistovo kritérium jsou poněkud idealizované, protože předpokládají okamžitý odběr vzorků a další lehce nereálné hypotézy, i když užitečné aproximace k těmto věcem existují. Následuje podrobnější vysvětlení jevu z hlediska teorie aproximace funkcí.
Pro účely této analýzy definujeme signál spojitého času jako reálnou nebo komplexní oceňovanou funkci, jejíž doménou je interval [0,1]. Pro kvantifikaci „velikosti“ signálu (a zejména pro měření rozdílu mezi dvěma signály) použijeme normu střední odmocniny (viz Lp mezery pro některé podrobnosti), a to
V souladu s tím budeme uvažovat pouze signály, které mají konečnou normu, tj. náměstí-integrální funkce
Všimněte si, že tyto signály nemusí být spojité jako funkce; přídavné jméno „spojité“ se vztahuje pouze na doménu.
Převod spojitého signálu f na n-rozměrný vektor rovnoměrně rozložených vzorků (vzorkovaný signál) může být modelován jako bod vzorkování operátor , Definováno , Kde . To znamená, že funkce je vzorkován v bodech
Všimněte si, že je to lineární mapa: pro jakékoli dva signály f a g, a jakýkoli skalár a, pak
Bohužel, zatímco je dobře definováno, pokud je f spojité (řekněme), není dobře definováno na prostoru definovaném výše. Příznakem toho je, že i když omezíme svou pozornost na funkce f, které jsou spojité, funkce f není v normě spojitá.
V mnoha fyzikálně významných prostředích je norma nebo podobná norma vhodným měřítkem podobnosti signálů. To, co se pak stane, je, že dva signály f a g, které jsou považovány za velmi podobné, se budou vzorkovat na dva signály, které jsou velmi odlišné.
Lepší metoda odběru vzorků (filtrování)
Abychom zachovali blízkost signálů po vzorkování (jinými slovy, abychom získali vzorkovací metodu, která se plynule mění v závislosti na signálu f), musíme pozměnit naši strategii vzorkování . Vylepšená metoda je následující:
To je lepší způsob filtrování, jak je nyní kontinuální lineární mapa od do .
Tato metoda odběru vzorků je také lepším modelem toho, jak může skutečný přístroj odebírat vzorky signálu. Například teleskopy odebírají vzorky světelných signálů akumulací fotonů na filmu nebo CCD receptoru. Výsledný obraz je tedy přibližně integrálem všech elektronů přijatých za určitou dobu a v pravoúhlé oblasti obrazové roviny.
Tento obdélníkový funkční filtr je jen jedním z mnoha možných filtrů pro vzorkování. Ve frekvenční doméně se jedná o filtr ve tvaru lowpass sinc, s první nulou při frekvenci jednoho cyklu na vzorek, což je dvojnásobek Nyquistovy frekvence. Tato nula odstraňuje veškerou signální energii, která by odpovídala stejnosměrné frekvenci (nulová frekvence), a značně zeslabuje všechny frekvence, které by odpovídaly velmi nízkým frekvencím. Filtr však nemá ostrý výřez na Nyquistově frekvenci, takže jen málo zabraňuje tomu, aby se energie těsně nad Nyquistovou frekvencí alisovala těsně pod ni. Obdélníkový funkční filtr je oblíbený v počítačem generovaném obrazovém anti-aliasingu, kde je „dost dobrý“.
Vzhledem k vzorkovanému signálu by člověk chtěl rekonstruovat původní signál . To je samozřejmě obecně nemožné, stejně jako nekonečný rozměrný vektorový prostor, zatímco je konečný rozměrný vektorový prostor (o rozměru n.)
V praxi si člověk vybere subprostor dimenze n a rekonstrukční lineární mapu R od do H. Smyslem R je přeměnit vzorkovaný signál na spojitý způsobem, který nám dává smysl.
Příkladem rekonstrukce mapy by bylo
kde je 1 pokud a 0 jinak.
V ideálním případě bychom měli pro všechny . Pokud k tomu dojde, pak R a S mají oba stejný obrázek o tom, jak se signály v a v chovají, mohli bychom říci, že S a R jsou koherentní. Zde, a jsou ve skutečnosti koherentní, ale a nejsou.
Dalším způsobem, jak říci, že R a S jsou koherentní je, že R je právo-inverzní pro S (nebo S je levé-inverzní pro R.)
Pro každý vzorkovaný signál je množina spojitých signálů, které se vzorkují ke stejnému, nazývána aliasy jeden druhého. Skutečnost, že existuje mnoho aliasů pro každý daný vzorkovaný signál, se nazývá aliasing. Jak již bylo zmíněno, velké množství aliasingu je způsobeno tím, že je nekonečně dimenzionální, zatímco je konečný dimenzionální.
V určitých fyzikálních situacích je volba R, H nebo S nějak omezená. Například je obvyklé zvolit H jako lineární rozpětí nízkostupňových trigonometrických polynomů:
Další omezení jsou, že například S by se mělo shodovat s H. Pokud bude předloženo dostatečně mnoho těchto požadavků, nakonec dojdeme k závěru, že vzorkovací algoritmus musí mít velmi zvláštní tvar:
kde je nějaký druh sinc filtru nebo sinc funkce.
Rekonstrukční vzorec R je zvolen tak, aby R a S byly koherentní.
Je důležité mít na paměti, co je mnohem opakuje ve výše uvedené diskusi: Nyquist věta, optimálnost sinc filtru, volba normy chyby (jsme si vybrali ) a tak dále jsou všechny předpoklady, které děláme o základní fyzikální problém.
V mnoha problémech jsou tyto předpoklady nevhodné a v těchto případech může být nutné Nyquistovu větu upravit tak, aby byla relevantnější pro danou situaci.