V teorii pravděpodobnosti a statistice jsou exponenciální rozdělení třídou spojitých rozdělení pravděpodobnosti. Často se používají k modelování doby mezi událostmi, které se odehrávají konstantní průměrnou rychlostí.
Specifikace exponenciálního rozdělení
Funkce hustoty pravděpodobnosti
Funkce hustoty pravděpodobnosti (pdf) exponenciálního rozdělení má tvar
kde λ > 0 je parametr rozdělení, často nazývaný parametr rychlosti. Rozdělení má podporu na intervalu [0,∞]. Má-li náhodná veličina X toto rozdělení, zapisujeme X ~ Exponenciální(λ).
Exponenciální rozdělení lze alternativně parametrizovat parametrem měřítka μ = 1/λ.
Kumulativní distribuční funkce
Kumulativní distribuční funkce je dána vztahem
Běžně používanou alternativní specifikací je definice funkce hustoty pravděpodobnosti (pdf) exponenciálního rozdělení jako
kde λ > 0 je parametr rozdělení a lze si jej představit jako multiplikativní inverzní hodnotu výše definovaného parametru míry. V této specifikaci je λ parametrem přežití v tom smyslu, že pokud je náhodná veličina X dobou, po kterou se danému biologickému nebo mechanickému systému M podaří přežít, a X ~ Exponenciální(λ), pak . To znamená, že očekávaná doba trvání přežití M je λ jednotek času.
Tato alternativní specifikace je někdy výhodnější než výše uvedená a někteří autoři ji používají jako standardní definici. Tuto alternativní specifikaci nebudeme přebírat. Bohužel tím vzniká notační nejasnost. Obecně platí, že pokud autor napíše „X ~ Exponenciální(λ)“, musí si čtenář ověřit, o kterou z těchto dvou specifikací se jedná.
Výskyt a použití
Exponenciální rozdělení se používá k modelování Poissonových procesů, což jsou situace, kdy se objekt, který je na počátku ve stavu A, může změnit na stav B s konstantní pravděpodobností za jednotku času λ. Čas, kdy se stav skutečně změní, je popsán exponenciální náhodnou veličinou s parametrem λ. Integrál od 0 do T přes f je tedy pravděpodobnost, že objekt je v čase T ve stavu B.
Exponenciální rozdělení lze považovat za spojitý protějšek geometrického rozdělení, které popisuje počet Bernoulliho pokusů nutných ke změně stavu diskrétního procesu. Naproti tomu exponenciální rozdělení popisuje dobu, za kterou spojitý proces změní stav.
Exponenciální proměnné lze také použít k modelování situací, kdy určité události nastávají s konstantní pravděpodobností na jednotku vzdálenosti:
V teorii front se doby mezi příchody (tj. doby mezi vstupy zákazníků do systému) často modelují jako exponenciálně rozdělené proměnné. Délku procesu, který si lze představit jako posloupnost několika nezávislých úloh, je lépe modelovat proměnnou podle gama rozdělení (což je součet několika nezávislých exponenciálně rozdělených proměnných).
Teorie spolehlivosti a inženýrství spolehlivosti rovněž hojně využívají exponenciální rozdělení. Vzhledem k tomu, že toto rozdělení nemá paměť, je vhodné pro modelování konstantní míry nebezpečí v koupelnové křivce, která se používá v teorii spolehlivosti. Je také velmi výhodné, protože v modelu spolehlivosti lze snadno přidávat míry poruch.
Exponenciální rozdělení však není vhodné pro modelování celkové životnosti organismů nebo technických zařízení, protože „míry poruch“ zde nejsou konstantní: více poruch nastává u velmi mladých a u velmi starých systémů.
Ve fyzice platí, že pokud pozorujeme plyn při pevné teplotě a tlaku v rovnoměrném gravitačním poli, výšky jednotlivých molekul se rovněž řídí přibližným exponenciálním rozdělením. To je důsledek níže uvedené vlastnosti entropie.
Střední nebo očekávaná hodnota exponenciálně rozdělené náhodné veličiny X s parametrem míry λ je dána vztahem
Na základě výše uvedených příkladů to dává smysl: pokud přijímáte telefonní hovory v průměru 2 za hodinu, můžete očekávat, že na každý hovor budete čekat půl hodiny.
Důležitou vlastností exponenciálního rozdělení je, že je bez paměti. To znamená, že pokud je náhodná veličina T rozdělena exponenciálně, její podmíněná pravděpodobnost se řídí pravidlem
(To by byla nezávislost. Tyto dvě události nejsou nezávislé.)
Exponenciální rozdělení jsou jediná spojitá pravděpodobnostní rozdělení bez paměti.
Exponenciální rozdělení má také konstantní funkci nebezpečí.
Kvantilová funkce (inverzní kumulativní distribuční funkce) pro exponenciálu(λ) je následující
pro .
Kvartily jsou tedy:
Ze všech spojitých rozdělení pravděpodobnosti s podporou [0,∞) a střední hodnotou μ má největší entropii exponenciální rozdělení s λ = 1/μ.
Předpokládejme, že víte, že daná proměnná je rozdělena exponenciálně, a chcete odhadnout parametr míry λ.
Věrohodnostní funkce pro λ, daná nezávislým a identicky rozděleným vzorkem x = (x1, …, xn) vybraným z vaší proměnné, je následující
Derivace logaritmu pravděpodobnostní funkce je následující
Odhad maximální věrohodnosti pro parametr rychlosti je tedy následující
Konjugovanou prioritou pro exponenciální rozdělení je gama rozdělení (jehož je exponenciální rozdělení speciálním případem). Následující parametrizace gama pdf je užitečná:
Posteriorní rozdělení p pak lze vyjádřit pomocí výše definované věrohodnostní funkce a gama priority:
Nyní byla zadána posteriorní hustota p až po chybějící normalizační konstantu. Jelikož má tvar gama pdf, lze ji snadno doplnit a získat následující hodnoty
Zde lze parametr α interpretovat jako počet předchozích pozorování a β jako součet předchozích pozorování.
Generování exponenciálních veličin
Koncepčně velmi jednoduchá metoda generování exponenciálních veličin je založena na vzorkování inverzní transformací: Je dána náhodná veličina U vybraná z rovnoměrného rozdělení na jednotkovém intervalu , veličina
má exponenciální rozdělení, kde je kvantilová funkce definovaná vztahem
Navíc, je-li U rovnoměrné na , pak je . To znamená, že lze generovat exponenciální veličiny následujícím způsobem:
Dalšími metodami generování exponenciálních veličin se zabývají Knuth a Devroye.