{T1, T2, T3, …} je posloupnost odhadů pro parametr θ0, jehož skutečná hodnota je 4. Tato posloupnost je konzistentní: odhady se stále více koncentrují v blízkosti skutečné hodnoty θ0; zároveň jsou tyto odhady zkreslené. Omezující rozdělení posloupnosti je degenerovaná náhodná proměnná, která se rovná θ0 s pravděpodobností 1.
Ve statistice se říká, že posloupnost odhadů pro parametr θ0 je konzistentní (nebo asymptoticky konzistentní), pokud se tato posloupnost shoduje v pravděpodobnosti s θ0. Znamená to, že rozdělení odhadců se stále více koncentruje v blízkosti skutečné hodnoty odhadovaného parametru, takže pravděpodobnost, že se odhad bude libovolně blížit k θ0, se přibližuje k jedné.
V praxi člověk obvykle sestaví jeden odhad jako funkci dostupného vzorku o velikosti n a pak si představí, že bude schopen dál sbírat data a rozšiřovat vzorek ad infinitum. Tímto způsobem by získal posloupnost odhadů indexovaných n a pojem konzistence bude chápán tak, že velikost vzorku „roste do nekonečna“. Pokud se tato posloupnost v pravděpodobnosti přiblíží skutečné hodnotě θ0, nazveme ji konzistentní odhad; jinak je odhad údajně nekonzistentní.
Konzistence, jak je zde definována, je někdy označována jako slabá konzistence. Když nahradíme konvergenci pravděpodobnosti téměř jistou konvergencí, pak se říká, že posloupnost odhadů je silně konzistentní.
Volně řečeno, říká se, že odhad Tn parametru θ je konzistentní, pokud se v pravděpodobnosti přiblíží skutečné hodnotě parametru:
Přísnější definice bere v úvahu skutečnost, že θ je ve skutečnosti neznámý, a proto musí konvergence pravděpodobnosti proběhnout pro každou možnou hodnotu tohoto parametru. Předpokládejme, že {pθ: θ ∈ Θ} je rodina distribucí (parametrický model) a Xθ = {X1, X2, … : Xi ~ pθ} je nekonečný vzorek z distribučního pθ. Nechť { Tn(Xθ) } je posloupnost odhadů pro nějaký parametr g(θ). Obvykle bude Tn založeno na prvních n pozorováních vzorku. Pak se říká, že tato posloupnost {Tn} je (slabě) konzistentní, pokud
Tato definice používá g(θ) místo jednoduchého θ, protože často se člověk zajímá o odhad určité funkce nebo dílčího vektoru základního parametru. V dalším příkladu odhadujeme parametr umístění modelu, ale ne měřítko:
Příklad: výběrový průměr pro normální náhodné proměnné
Předpokládejme, že jeden má posloupnost pozorování {X1, X2, …} z normální distribuce N(μ, σ2). Pro odhad μ na základě prvních n pozorování použijeme výběrový průměr: Tn = (X1 + … + Xn)/n. Ten definuje posloupnost odhadů, indexovaných velikostí vzorku n.
Z vlastností normálního rozdělení víme, že Tn je sám normálně distribuován, se středním μ a rozptylem σ2/n. Ekvivalentně má standardní normální rozdělení. Pak
protože n má tendenci k nekonečnu, pro každý pevný ε > 0. Proto je posloupnost Tn výběrových průměrů konzistentní pro populační průměr μ.
Pojem asymptotické konzistence je velmi blízký, téměř synonymem pojmu konvergence v pravděpodobnosti. Jako takový může být k prokázání konzistence použit jakýkoliv teorém, lemma nebo vlastnost, která konvergenci v pravděpodobnosti zakládá. Existuje mnoho takových nástrojů:
nejčastější volbou pro funkci h je buď absolutní hodnota (v takovém případě je známý jako Markovova nerovnost), nebo kvadratická funkce (respektive Chebychev je nerovnost).
Nestranné, ale nekonzistentní
Odhad může být nezaujatý, ale ne konzistentní. Například pro iid vzorek {x
Alternativně může být odhad zkreslený, ale konzistentní. Například pokud je průměr odhadnut tím, že je zkreslený, ale jako , Přibližuje se správné hodnotě, a tak je konzistentní.