V teorii pravděpodobnosti a statistice je k-tý moment kolem střední hodnoty (nebo k-tý centrální moment) reálně vyjádřené náhodné veličiny X veličina E[(X – E[X])k], kde E je operátor očekávání. Některé náhodné veličiny nemají střední hodnotu a v takovém případě není moment kolem střední hodnoty definován. K-tý moment kolem střední hodnoty se často označuje μk. Pro spojité jednorozměrné rozdělení pravděpodobnosti s funkcí hustoty pravděpodobnosti f(x) je moment kolem střední hodnoty μ následující
Někdy je vhodné převést momenty kolem počátku na momenty kolem střední hodnoty. Obecná rovnice pro převod momentu n-tého řádu kolem počátku na moment kolem střední hodnoty je následující
kde m je střední hodnota rozdělení a moment kolem počátku je dán vztahem
První moment kolem střední hodnoty je nulový. Druhý moment kolem průměru se nazývá rozptyl a obvykle se označuje σ2, kde σ představuje směrodatnou odchylku. Třetí a čtvrtý moment kolem průměru se používají k definování standardizovaných momentů, které se zase používají k definování šikmosti, resp. kurtózy.
Pro n ≥ 2 je n-tý centrální moment translačně invariantní, tj. pro libovolnou náhodnou veličinu X a libovolnou konstantu c platí, že
Pro všechna n je n-tý centrální moment homogenní stupně n:
Pouze pro n ≤ 3 máme vlastnost aditivity pro náhodné veličiny X a Y, které jsou nezávislé:
Souvisejícím funkcionálem, který s n-tým centrálním momentem sdílí vlastnosti translační invariantnosti a homogenity, ale má tuto vlastnost aditivity i při n ≥ 4, je n-tý kumulant κn(X). Pro n = 1 je n-tým kumulantem právě očekávaná hodnota; pro n = 2 nebo 3 je n-tým kumulantem právě n-tý centrální moment; pro n ≥ 4 je n-tý kumulant monickým polynomem n-tého stupně v prvních n momentech (kolem nuly) a je také (jednodušším) polynomem n-tého stupně v prvních n centrálních momentech.
Centrální momenty 2, 3 a 4
Jak bylo uvedeno výše, druhým centrálním momentem je rozptyl a třetí a čtvrtý centrální moment souvisí se šikmostí, resp. kurtózou. Je proto užitečné mít vzorce pro tyto centrální momenty v podobě momentů kolem počátku. Jsou to:
kde je střední hodnota, stejně jako dříve.