V teorii sociální volby Arrowův teorém nemožnosti, neboli Arrowův paradox, demonstruje, že žádný volební systém nemůže převést seřazené preference jednotlivců do celokomunitního pořadí a zároveň splnit určitý soubor rozumných kritérií se třemi nebo více diskrétními možnostmi výběru. Těmto kritériím se říká neomezená doména, nevnucování, nedediktatura, Paretova efektivita a nezávislost irelevantních alternativ. Věta je často citována v diskusích o teorii voleb, jak je dále interpretována Gibbardovou-Satterthwaitovou větou.
Věta je pojmenována po ekonomovi Kennethu Arrowovi, který větu demonstroval ve své disertační práci a popularizoval ji ve své knize Social Choice and Individual Values z roku 1951. Původní práce měla název „A Difficulty in the Concept of Social Welfare“. Arrow byl spolunositelem Nobelovy ceny za ekonomii z roku 1972.
Rámec pro Arrowův teorém předpokládá, že potřebujeme získat preferenční pořadí na dané množině možností (výsledků). Každý jednotlivec ve společnosti (nebo ekvivalentně každé rozhodovací kritérium) udává určité pořadí preferencí na množině výsledků. Hledáme preferenční volební systém, nazývaný funkce sociálního blahobytu, který transformuje množinu preferencí do jediného globálního společenského preferenčního pořadí. Věta uvažuje o následujících vlastnostech, které jsou považovány za přiměřené požadavky spravedlivé volební metody:
Arrowova věta říká, že pokud má rozhodovací orgán alespoň dva členy a alespoň tři možnosti, mezi kterými se může rozhodnout, pak je nemožné navrhnout funkci sociální péče, která splňuje všechny tyto podmínky najednou.
Pozdější (1963) verzi Arrow věta lze získat nahrazením monotónnost a non-uložení kritéria s:
Pozdější verze tohoto teorému je silnější – má slabší podmínky – protože monotónnost, nenucenost a nezávislost irelevantních alternativ společně implikují Paretovu efektivitu, zatímco Paretova efektivita, nenucenost a nezávislost irelevantních alternativ společně neimplikují monotónnost.
Formální vyjádření věty
Dovolit je soubor výstupů, počet voličů nebo rozhodovací kritéria. Jsme se označují soubor všech plných lineární pořadí podle (tato sada je ekvivalentní soubor permutací na prvky ).
(Striktní) funkce sociální péče je funkce
která agreguje preference voličů do jednoho pořadí preferencí na . -tuple voličských preferencí se nazývá profil preferencí. Ve své nejsilnější a nejjednodušší formě Arrowova věta o nemožnosti uvádí, že kdykoli množina možných alternativ má více než 2 prvky, pak se následující tři podmínky stanou neslučitelnými:
Na základě důkazu Johna Geanakoplose z Cowles Foundation, Yale University.
Chceme dokázat, že jakýkoli systém společenské volby respektující neomezené panství, slabý Paretův princip (WP) a nezávislost irelevantních alternativ (IIA) je diktaturou.
Řekněme, že pro společnost existují tři možnosti, nazvěme je A, B a C. Nejprve předpokládejme, že všichni nejméně preferují možnost B. To znamená, že všichni preferují všechny ostatní možnosti před možností B. Podle zásady slabého Pareta musí společnost preferovat všechny možnosti před možností B. Konkrétně společnost preferuje možnost A a C před možností B. Nazvěme tuto situaci Profil 1.
Na druhou stranu, pokud by všichni dávali přednost B před vším ostatním, pak by společnost musela dát přednost B před vším ostatním podle WP. Je tedy jasné, že pokud vezmeme Profil 1 a při procházení členů ve společnosti v nějakém libovolném, ale specifickém pořadí přesuneme B ze spodní části seznamu preferencí každé osoby na vrchol, musí existovat nějaký bod, ve kterém se B přesune také ze spodní části preferencí společnosti, protože víme, že nakonec skončí na vrcholu.
Chceme nyní ukázat, že během tohoto procesu, v okamžiku, kdy klíčový volič posune B z dolní části svých preferencí na vrchol, se B společnosti posune také na vrchol svých preferencí, nikoliv na mezistupeň.
Abyste to dokázali, zvažte, co by se stalo, kdyby to nebyla pravda. Pak by společnost měla nějakou možnost, které dává přednost před B, řekněme A, a jednu méně vhodnou než B, řekněme C (pokud by tomu bylo jinak, stačí zaměnit jména A a C).
Pokud každý posune svou preferenci pro C nad A, pak by společnost upřednostnila C před A podle WP. Tím, že A je již upřednostněno před B, C by nyní bylo upřednostněno před B také v pořadí společenských preferencí. Ale posunem C nad A by se nemělo nic změnit na tom, jak B a C porovnávají, nezávisle na nepodstatných alternativách. To znamená, že když je B buď na samém vrcholu nebo na dně preferencí každého člověka, posunem C nebo A kolem se nezmění, jak se jedno nebo druhé porovnává s B.
Proto, když všichni voliči prostřednictvím voliče přesunuli B ze dna svých preferencí na vrchol, společnost posouvá B ze dna až na vrchol, ne nějaký mezibod.
V druhé části důkazu ukazujeme, jak může být volič diktátorem nad rozhodováním společnosti mezi A a C. Nazvěme případ se všemi voliči až po B na spodní straně jejich preferencí a zbytek s B na horní Profil 2. Nazvěme případ se všemi voliči až po B na spodní a zbytek s B na horní Profil 3.
Nyní předpokládejme, že všichni až do pořadí B na konci, B pod A, ale nad C, a všichni ostatní mají B na vrcholu. Pokud jde o rozhodnutí A-B, tato organizace je stejná jako v Profilu 2, u kterého jsme dokázali, že B je pod A (v Profilu 2 je B ve skutečnosti na konci společenského uspořádání). Nová pozice C je irelevantní pro B – A uspořádání pro společnost kvůli IIA. Stejně tak „nové uspořádání má vztah mezi B a C, který je stejný jako v Profilu 3, u kterého jsme dokázali, že má B nad C (B je ve skutečnosti na vrcholu). Proto víme, že společnost dává A nad B nad C. A pokud by člověk převrátil A a C, společnost by musela převrátit své preference stejným argumentem. Tudíž člověk se stává diktátorem nad rozhodnutím společnosti mezi A a C.
Protože B je irelevantní (IIA) pro rozhodování mezi A a C, nezáleží na tom, že jsme předpokládali konkrétní profily, které umístily B na konkrétní místa. Byl to jen způsob, jak na příkladu zjistit, kdo byl diktátorem nad A a C. Ale vše, co potřebujeme vědět, je, že existuje.
Nakonec chceme ukázat, že diktátor může diktovat i nad dvojicí A – B a nad dvojicí C – B. Vezměme v úvahu, že jsme dokázali, že existují diktátoři nad dvojicemi A – B, B – C a A – C, ale nemusí to být nutně tentýž diktátor. Pokud však vezmeme dva diktátory, kteří mohou diktovat například nad dvojicí A – B a B – C, mohou společně určit výsledek A – C, což je v rozporu s myšlenkou, že existuje nějaký třetí diktátor, který může diktovat nad dvojicí A – C. Proto existence těchto diktátorů stačí k prokázání, že jsou stejnou osobou, jinak by byli schopni jeden druhého přehlasovat, což je rozpor.
Výklady věty
Arrowova věta je matematický výsledek, ale často je vyjádřena nematematicky s výrokem jako „Žádná hlasovací metoda není spravedlivá“, „Každá hodnocená hlasovací metoda je chybná“ nebo „Jediná hlasovací metoda, která není chybná, je diktatura“. Tyto výroky jsou zjednodušením Arrowova výsledku, které nejsou všeobecně považovány za pravdivé. Arrowova věta říká, že hlasovací mechanismus nemůže splňovat všechny výše uvedené podmínky současně pro všechny možné preferenční pořadí.
Šíp skutečně použil termín „spravedlivý“ k odkazu na svá kritéria. Paretova efektivita, stejně jako požadavek na neuložení, se skutečně jeví jako triviální. Různí teoretici navrhovali oslabení kritéria IIA jako východisko z paradoxu. Zastánci klasifikovaných hlasovacích metod tvrdí, že IIA je nepřiměřeně silné kritérium, které ve skutečnosti neplatí ve většině reálných situací. Kritérium IIA je totiž tím, které je porušováno ve většině užitečných hlasovacích systémů.
Zastánci tohoto postoje poukazují na to, že selhání standardního kritéria IIA je triviálně implikováno možností cyklických preferencí. Pokud voliči odevzdají hlasovací lístky takto:
Vyhraje tedy C, i když se změna (B odpadá) týkala „irelevantního“ alternativního kandidáta, který za původních okolností nevyhrál.
Arrowův teorém tedy ve skutečnosti ukazuje, že hlasování je netriviální hra a že teorie her by měla být použita k předpovídání výsledku většiny hlasovacích mechanismů. To by mohlo být považováno za odrazující výsledek, protože hra nemusí mít efektivní rovnováhu, např. hlasování by mohlo vyústit v alternativu, kterou nikdo vlastně nechtěl, a přesto všichni hlasovali pro.
Všimněte si však, že ne všechny hlasovací systémy vyžadují (nebo dokonce umožňují), jako vstup, přísné uspořádání všech kandidátů. Tyto systémy pak mohou triviálně selhat v kritériu univerzálnosti. Některé systémy mohou splňovat verzi Arrowovy věty s určitým přeformulováním univerzálnosti a nezávislosti irelevantních alternativ; Warren Smith tvrdí, že rozmezí hlasování je takový systém.
Předchozí diskuse předpokládá, že „správným“ způsobem, jak se vypořádat s Arrowovým paradoxem, je eliminovat (nebo oslabit) jedno z kritérií. Kritérium IIA je nejpřirozenějším kandidátem. Přesto existují i jiné „cesty ven“.
Duncan Black ukázal, že pokud existuje pouze jedna agenda, podle které jsou preference posuzovány, pak jsou všechny Arrowovy axiomy splněny většinovým pravidlem. Formálně to znamená, že pokud správně omezíme doménu funkce sociální péče, pak je vše v pořádku. Blackovo omezení, princip „single-peaked preference“, uvádí, že existuje nějaké předem stanovené lineární uspořádání P alternativní množiny. Každý volič má nějaké zvláštní místo, které se mu na této linii líbí nejvíce, a jeho nechuť k alternativě se zvětšuje, jak se alternativa od tohoto místa vzdaluje. Například, pokud by voliči hlasovali o tom, kde nastavit hlasitost hudby, bylo by rozumné předpokládat, že každý volič má svou vlastní ideální hlasitost preference a že jak se hlasitost postupně stává příliš hlasitou nebo příliš tichou, budou stále nespokojenější. V takto omezeném případě Arrowův teorém neplatí: zejména postrádá neomezenou doménu.
Mnoho různých funkcí sociální péče může skutečně splňovat Arrowovy podmínky za takových omezení domény. Bylo však prokázáno, že za každého takového omezení, pokud existuje nějaká funkce sociální péče, která dodržuje Arrowova kritéria, pak se pravidlo většiny bude řídit Arrowovými kritérii. Za jednorázových preferencí je tedy pravidlo většiny v některých ohledech nejpřirozenějším hlasovacím mechanismem.
Existuje celá literatura navazující na Arrowovu původní práci, která shledává další nemožnosti a také některé možné výsledky. Pokud například oslabíme požadavek, že pravidlo sociální volby musí vytvořit uspořádání sociální preference, které uspokojuje přechodovost a místo toho vyžaduje pouze acyklicitu (pokud je a preferováno před b, a b je preferováno před c, pak neplatí, že c je preferováno před a), existují pravidla sociální volby, která splňují Arrowovy požadavky.
Ekonom a nositel Nobelovy ceny Amartya Sen navrhl nejméně dvě další alternativy. Nabídl jak uvolnění přechodnosti, tak odstranění Paretova principu. Prokázal existenci hlasovacích mechanismů, které splňují všechna Arrowova kritéria, ale dodávají pouze polopřechodné výsledky.
Také předvedl další zajímavý výsledek nemožnosti, známý jako „nemožnost pardubického liberála“. (Podrobnosti viz liberální paradox). Sen dále argumentoval, že to ukazuje marnost požadavku Paretovy optimálnosti ve vztahu k hlasovacím mechanismům.
Zastánci schvalovacího hlasování považují neomezenou oblast za nejlepší kritérium k oslabení. Při schvalovacím hlasování mohou voliči hlasovat pouze „pro“ nebo „proti“ každému kandidátovi, což jim brání rozlišovat mezi svými favorizovanými kandidáty a těmi, kteří jsou pouze přijatelní.
Zastánci rozsahového hlasování také považují neomezenou doménu za nejlepší kritérium, které je třeba porušit, ale místo omezení voličských možností, jako je schvalovací hlasování, rozsahové hlasování zvyšuje počet voličských možností nad rámec toho, co umožňuje Arrowův teorém.
Skalární žebříčky z vektoru atributů a vlastnosti IIA
Normal-form game · Extensive-form game · Cooperative game · Information set · Preference
Nashova rovnováha · Podherní dokonalost · Bayesovská-Nashova · Dokonalá Bayesovská · Třesoucí se ruka · Správná rovnováha · Epsilonová rovnováha · Korelovaná rovnováha · Sekvenční rovnováha · Kvazidokonalá rovnováha · Evolučně stabilní strategie · Riziková dominance · Paretova efektivita
Dominantní strategie · Pure strategy · Mixed strategy · Tit for tat · Grim trigger · Collusion · Backward induction
Symetrická hra · Perfektní informace · Dynamická hra · Sekvenční hra · Opakovaná hra · Signalizační hra · Levné povídání · Hra s nulovým součtem · Mechanismus design · Vyjednávací problém · Stochastická hra · Nontransitivní hra · Globální hry
Vězeňské dilema · Cestovatelské dilema · Koordinační hra · Kuře · Dobrovolnické dilema · Aukce dolarů · Bitva pohlaví · Lov jelenů · Odpovídající mince · Hra s ultimátem · Menšinová hra · Kámen-nůžky-papír · Pirátská hra · Hra s diktátorem · Hra s veřejnými statky · Blotto hry ·Válka opotřebení ·El Farol Bar problém ·Stříhání dortů ·Cournot hra ·Deadlock ·Dinerovo dilema ·Hádej 2/3 průměru ·Kuhn poker ·Nash vyjednávací hra ·Screening hra ·Signalizační hra ·Trust hra ·Princezna a monstrum hra
Minimaxova věta · Purifikační věta · Folková věta · Zjevovací princip · Arrowova věta o nemožnosti