Katastrofická teorie je v matematice obor bifurkační teorie ve studiu dynamických systémů; je také zvláštním případem obecnější teorie singularity v geometrii.
Bifurkační teorie studuje a klasifikuje jevy charakterizované náhlými změnami chování vyplývajícími z malých změn okolností, analyzuje, jak kvalitativní povaha řešení rovnic závisí na parametrech, které se v rovnici objevují. To může vést k náhlým a dramatickým změnám, například nepředvídatelnému načasování a velikosti sesuvu půdy.
Teorie katastrof, která vznikla prací francouzského matematika Reného Thoma v 60. letech a stala se velmi populární v neposlední řadě díky úsilí Christophera Zeemana v 70. letech, považuje za zvláštní případ, kdy dlouhodobé stabilní řešení lze identifikovat s minimem hladké, dobře definované potenciální funkce (Lyapunovova funkce).
Malé změny v parametrech mohou způsobit, že dříve stabilní rovnováha zmizí, což vede k velkému a náhlému přechodu chování systému. Při zkoumání ve větším prostoru parametrů však katastrofická teorie odhaluje, že takové bifurkační body mají tendenci se vyskytovat jako součást dobře definovaných kvalitativních geometrických struktur.
Teorie katastrof analyzuje degenerované kritické body potenciální funkce — body, kde nejen první derivace, ale i jedna nebo více vyšších derivací potenciální funkce jsou také nulové. Ty se nazývají zárodky katastrofických geometrií. Degenerace těchto kritických bodů může být rozvinuta rozšířením potenciální funkce jako Taylorovy řady v malých odchylkách parametrů.
Když degenerované body nejsou pouze náhodné, ale jsou strukturálně stabilní, degenerované body existují jako organizační centra pro konkrétní geometrické struktury nižších degenerovaných kritických rysů v prostoru parametrů kolem nich. Pokud potenciální funkce závisí na třech nebo méně aktivních proměnných a pěti nebo méně aktivních parametrech, pak pro tyto bifurkační geometrie existuje pouze sedm obecných struktur s odpovídajícími standardními formami, do kterých může být Taylorova řada kolem katastrofických zárodků přeměněna změnou proměnných. Ty jsou nyní prezentovány se jmény, která jim dal Thom.
Potenciální funkce jedné aktivní proměnné
Soubor:Fold bifurcation.svg
Při záporných hodnotách a má potenciál dva extrémy – jeden stabilní a jeden nestabilní. Pokud se parametr a pomalu zvětšuje, může systém sledovat stabilní minimální bod. Ale při a=0 se stabilní a nestabilní extrém setkávají a anihilují. To je bod bifurkace. Při a>0 již není stabilní řešení. Pokud je fyzikální systém následován záhybem bifurkace, zjistíme, že když a dosáhne 0, stabilita a<0 řešení je náhle ztracena a systém náhle přejde na nové, velmi odlišné chování. Tato hodnota bifurkace parametru a se někdy nazývá bod zlomu.
Kuželová geometrie je velmi častá, když člověk zkoumá, co se stane se záhybovou bifurkací, když se do řídicího prostoru přidá druhý parametr, b. Při změně parametrů člověk zjistí, že nyní existuje křivka (modrá) bodů v (a, b) prostoru, kde se ztrácí stabilita, kde stabilní řešení náhle přeskočí na alternativní výsledek.
Ale v kuželové geometrii se bifurkační křivka stáčí zpět na sebe, čímž vznikne druhá větev, kde toto alternativní řešení samo ztrácí stabilitu, a provede skok zpět k původní množině řešení. Opakovaným zvyšováním b a následným snižováním lze proto pozorovat hysterezní smyčky, protože systém střídavě následuje jedno řešení, přeskočí na druhé, následuje druhé zpět a pak přeskočí zpět na první.
To je však možné pouze v oblasti parametrového prostoru a<0. Jak se zvětšuje a, hysterezní smyčky se zmenšují a zmenšují, až nad a=0 úplně mizí (cusp katastrofa) a existuje jen jedno stabilní řešení.
Lze také uvažovat o tom, co se stane, když je b konstantní a mění se a. V symetrickém případě b=0 pozorujeme bifurkaci vidlí, když je a redukováno, přičemž jedno stabilní řešení se náhle rozdělí na dvě stabilní řešení a jedno nestabilní řešení, když fyzikální systém prochází do a<0 přes bod zlomu a=0, b=0 (příklad spontánního narušení symetrie). Mimo bod zlomu nedochází k náhlé změně fyzikálního řešení, které je následováno: když procházíme křivkou složených bifurkací, vše, co se stane, je alternativní druhé řešení, které se stane dostupným.
Známý návrh je, že cusp katastrofa může být použit k modelování chování stresovaného psa, který může reagovat tím, že se zastraší nebo se rozzlobí. Návrh je, že při mírném stresu (a>0), pes bude vykazovat hladký přechod reakce od zastrašený k rozzlobený, v závislosti na tom, jak je vyprovokován. Ale vyšší úroveň stresu odpovídá přesunu do oblasti (a<0). Pak, pokud pes začne zastrašený, zůstane zastrašený, jak je podrážděný více a více, dokud nedosáhne 'fold' bodu, kdy se náhle, přerušovaně dostane do rozzlobeného režimu. Jakmile se dostane do 'rozzlobeného' režimu, zůstane rozzlobený, i když je parametr přímého podráždění značně snížen.
Bifurkace v ohybu a geometrie hrotu jsou zdaleka nejdůležitějšími praktickými důsledky teorie katastrofy. Jsou to vzory, které se znovu a znovu objevují ve fyzice, inženýrství a matematickém modelování.
Zbývající jednoduché katastrofické geometrie jsou ve srovnání velmi specializované a prezentované zde pouze pro kuriozitu.
Prostor řídicích parametrů je trojrozměrný. Bifurkace nastavená v prostoru parametrů je tvořena třemi plochami složených bifurkací, které se setkávají ve dvou řadách cusp bifurkací, které se zase setkávají v jednom polykačském bodě bifurkace.
Jak parametry procházejí povrchem složených bifurkací, mizí jedno minimum a jedno maximum potenciální funkce. Na vrcholu bifurkací jsou dvě minima a jedno maximum nahrazena jedním minimem; za nimi mizí složené bifurkace. Na vrcholu vlaštovčího ocasu se dvě minima a dvě maxima setkávají při jedné hodnotě x. Pro hodnoty a>0 je za vlaštovčím ocasem buď jeden maximálně-minimální pár, nebo vůbec žádný, v závislosti na hodnotách b a c. Dvě z ploch složených bifurkací a dvě linie dělení na vrcholu, kde se setkávají při hodnotě <0, proto mizí na vrcholu vlaštovčího ocasu, aby byly nahrazeny pouze jediným povrchem složených bifurkací.
V závislosti na hodnotách parametrů může mít potenciální funkce tři, dvě nebo jedno různé lokální minima, oddělené loki složených bifurkací. V motýlím bodě se různé 3-povrchy složených bifurkací, 2-povrchy vrcholových bifurkací a linie vlaštovčích bifurkací všechny setkávají a mizí, takže jediná struktura vrcholů zůstává, když je>0.
Potenciální funkce dvou aktivních proměnných
Pupeční katastrofy jsou příklady katastrof corank 2. Lze je pozorovat v optice v ohniskových plochách vytvořených světlem odrážejícím se od povrchu ve třech rozměrech a jsou úzce spojeny s geometrií téměř kulových ploch.
Thom navrhl, že hyperbolická umbilická katastrofa modelovala lámání vlny a eliptická pupeční modelovala vytváření struktur podobných vlasům.
Hyperbolická umbilická katastrofa
Eliptická umbilická katastrofa
Parabolická umbilická katastrofa
Vladimir Arnol dal katastrofám klasifikaci ADE, kvůli hlubokému propojení s jednoduchými Lieovými skupinami.
Existují objekty v teorii singularity, které odpovídají většině ostatních jednoduchých Lež skupin.