Obr. 1. V tomto smykovém mapování Mony Lisy byl obrázek deformován tak, že jeho středová svislá osa (červený vektor) nebyla upravena, ale diagonální vektor (modrý) změnil směr. Tudíž červený vektor je vlastní vektor transformace a modrý vektor ne. Protože červený vektor nebyl ani napnutý, ani komprimovaný, jeho vlastní vektor je 1. Všechny vektory se stejným svislým směrem – tj. rovnoběžně s tímto vektorem – jsou také vlastní vektory, se stejným vlastním vektorem. Spolu s nulovým vektorem tvoří vlastní vektor pro toto vlastní číslo.
V matematice může být vektor považován za šipku. Má délku, nazývanou jeho velikost, a ukazuje určitým směrem. Lineární transformaci lze považovat za působení na vektor, který jej mění, obvykle měnící jak jeho velikost, tak jeho směr. eigenvector dané lineární transformace je vektor, který je během této transformace vynásoben konstantou zvanou vlastní hodnota. Směr vlastního čísla je touto transformací buď nezměněn (pro kladná vlastní čísla), nebo obrácen (pro záporná vlastní čísla).
Například vlastní číslo +2 znamená, že vlastní číslo je zdvojené na délku a směřuje stejným směrem. Vlastní číslo +1 znamená, že vlastní číslo je beze změny, zatímco vlastní číslo −1 znamená, že vlastní číslo je obrácené ve směru. Vlastní číslo dané transformace je rozpětí vlastních čísel dané transformace se stejným vlastním číslem spolu s nulovým vektorem (který nemá žádný směr). Vlastní číslo je příklad podprostoru vektorového prostoru.
V lineární algebře může být každá lineární transformace mezi konečnými-dimenzionálními vektorovými prostory dána maticí, což je obdélníkové pole čísel uspořádané v řádcích a sloupcích. Standardní metody pro hledání vlastních čísel, vlastních čísel a vlastních čísel dané matice jsou popsány níže.
Tyto pojmy hrají hlavní roli v několika oborech jak čisté, tak aplikované matematiky – objevují se výrazně v lineární algebře, funkční analýze a v menší míře v nelineární matematice.
Za vektory lze považovat mnoho druhů matematických objektů: například funkce, harmonické režimy, kvantové stavy a frekvence. V těchto případech ztrácí pojem směr svůj obvyklý význam a je mu dána abstraktní definice. I tak, pokud je tento abstraktní směr nezměněn danou lineární transformací, používá se předpona „eigen“, jako v eigenfunction, eigenmode, eigenstate a eigenfrequency.
Osminásobky se často uvádějí v kontextu lineární algebry nebo maticové teorie. Historicky však vznikly při studiu kvadratických forem a diferenciálních rovnic.
Euler také studoval rotační pohyb tuhého tělesa a objevil význam hlavních os. Jak si Lagrange uvědomil, hlavní osy jsou vlastní vektory setrvačné matice. Na počátku 19. století Cauchy viděl, jak by jejich práce mohla být použita pro klasifikaci kvadrických povrchů, a zobecnil ji na libovolné rozměry. Cauchy také zavedl termín racine caractéristique (charakteristický kořen) pro to, co se dnes nazývá vlastní vektor; jeho termín přežívá v charakteristické rovnici.
Fourierova práce Laplaceova a Lagrangeova k řešení rovnice tepla oddělením proměnných použil ve své slavné knize Théorie analytique de la chaleur z roku 1822. Sturm dále rozvíjel Fourierovy myšlenky a přivedl je k pozornosti Cauchyho, který je kombinoval se svými vlastními myšlenkami a dospěl k tomu, že symetrické matice mají reálná vlastní vlastní čísla. To bylo rozšířeno Hermitovou v roce 1855 na to, co se dnes nazývá Hermitovy matice. Přibližně ve stejné době, Brioschi prokázal, že vlastní čísla ortogonálních matic leží na jednotkové kružnici, a Clebsch našel odpovídající výsledek pro šikmo-symetrické matice. Nakonec, Weierstrass objasnil důležitý aspekt v teorii stability, kterou zahájil Laplaceova tím, že si uvědomil, že vadné matice mohou způsobit nestabilitu.
Mezitím, Liouville studoval vlastní číslo problémy podobné těm na Sturm; disciplína, která vyrostla z jejich práce se nyní nazývá Sturm-Liouville teorie. Schwarz studoval první vlastní číslo Laplaceova rovnice na obecné domény ke konci z 19 století, zatímco Poincaré studoval Poisson rovnice o několik let později.
Na začátku 20. století Hilbert studoval vlastní hodnoty integrálních operátorů tím, že na operátory pohlížel jako na nekonečné matice. Jako první použil v roce 1904 německé slovo eigen pro označení vlastních hodnot a vlastních vektorů, i když možná sledoval příbuzné použití Helmholtzem. „Eigen“ lze přeložit jako „vlastní“, „zvláštní pro“, „charakteristický“ nebo „individuální“ – zdůrazňující, jak jsou vlastní hodnoty důležité pro definování jedinečné povahy konkrétní transformace. Nějakou dobu byl standardní termín v angličtině „proper value“, ale dnes je více charakteristický termín „eigenvalue“.
První numerický algoritmus pro výpočet vlastních čísel a vlastních čísel se objevil v roce 1929, kdy Von Mises zveřejnil metodu mocniny. Jedna z dnes nejpopulárnějších metod, QR algoritmus, byl navržen nezávisle Františkem a Kublanovskou v roce 1961.
Definice: rovnice vlastní hodnoty
kde x a y jsou libovolné dva vektory vektorového prostoru L a α je libovolné reálné číslo. Taková funkce se různě nazývá lineární transformace, lineární operátor nebo lineární endomorfismus na prostoru L.
Při lineární transformaci A je nenulový vektor x definován jako vlastní vektor transformace, pokud splňuje rovnici vlastní hodnoty pro nějaký skalární λ. V této situaci se skalární λ nazývá vlastní vektor A odpovídající vlastní vektoru x.
Klíčovou rovnicí v této definici je rovnice vlastní hodnoty, Ax = λx. Většina vektorů x takovou rovnici nevyhoví. Typický vektor x mění směr, když na něj působí A, takže Ax není násobkem x. To znamená, že jen určité speciální vektory x jsou vlastní vektory a jen určitá speciální čísla λ jsou vlastní hodnoty. Samozřejmě, pokud A je násobkem matice identity, pak žádný vektor nemění směr a všechny nenulové vektory jsou vlastní vektory. Ale v obvyklém případě je vlastních vektorů málo a jsou daleko od sebe. Jsou to „normální režimy“ systému a jednají nezávisle.
Požadavek, aby vlastní číslo bylo nenulové, je uložen, protože rovnice A0 = λ0 platí pro každé A a každé λ. Protože rovnice je vždy triviálně pravdivá, nejedná se o zajímavý případ. Naopak vlastní číslo může být nulové netriviálním způsobem. Vlastní číslo může být a obvykle také je komplexním číslem. Ve výše uvedené definici se vlastní číslo a vlastní číslo nevyskytují samostatně. Místo toho je každé vlastní číslo spojeno se specifickým vlastním číslem. Z tohoto důvodu je vlastní číslo x a odpovídající vlastní číslo λ často označováno jako vlastní číslo. Jedno vlastní číslo může být spojeno s několika nebo dokonce s
nekonečným počtem vlastních čísel. Ale naopak, pokud je vlastní číslo dáno, je
spojené vlastní číslo pro toto vlastní číslo jedinečné. Vskutku, z rovnosti
Ax = λx = λ’x a z x ≠ 0 vyplývá, že λ = λ‘.
Obr. 2. Rovnice vlastní hodnoty jako homothety (transformace podobnosti) na vektoru x.
Je-li x vlastní vektor lineární transformace A s vlastní hodnotou λ, pak každý vektor y = αx je také vlastní vektor A se stejnou vlastní hodnotou. Z homogenity transformace A vyplývá, že Ay = α(Ax) = α(λx) = λ(αx) = λy. Podobně lze pomocí vlastnosti aditivity lineární transformace ukázat, že každá lineární kombinace vlastních vektorů s vlastní hodnotou λ má stejnou vlastní hodnotu λ. Proto každý nenulový vektor v přímce přes x a nulový vektor je vlastní vektor se stejnou vlastní hodnotou jako x. Spolu s nulovým vektorem tvoří tyto vlastní vektory podprostor vektorového prostoru nazývaný vlastní vektor. Vlastní vektory odpovídající různým vlastním hodnotám jsou lineárně nezávislé, což zejména znamená, že v n-rozměrném prostoru nemůže mít lineární transformace A více než n vlastních vektorů s různými vlastními hodnotami. Vektory vlastního prostoru generují lineární podprostor A, který je při této transformaci invariantní (nezměněný).
Je-li báze definována ve vektorovém prostoru Ln, mohou být všechny vektory vyjádřeny složkami. Polární vektory mohou být reprezentovány jako jednosloupcové matice s n řádky, kde n je prostorová dimenzionalita. Lineární transformace mohou být reprezentovány čtvercovými maticemi; každé lineární transformaci A z Ln odpovídá čtvercová matice hodnosti n. Naopak každé čtvercové matici hodnosti n odpovídá lineární transformace Ln na daném základě. Vzhledem k aditivitě a homogenitě lineární trasformace a rovnice vlastní hodnoty (která je také lineární transformací – homothetou) mohou být tyto vektorové funkce vyjádřeny ve formě matice. V dvourozměrném vektorovém prostoru L2 vybaveném standardní bází tak může být rovnice vlastní hodnoty pro lineární transformaci A napsána v následující maticové reprezentaci:
kde juxtapozice matic znamená násobení matic. To se rovná množině n lineárních rovnic, kde n je počet bazických vektorů v bazické množině. V těchto rovnicích jsou jak vlastní číslo λ, tak složky x neznámými proměnnými.
Vlastní vektory A, jak jsou definovány výše, se také nazývají pravé vlastní vektory, protože jsou to sloupcové vektory, které stojí na pravé straně matice A v rovnici vlastní hodnoty. Pokud existuje transponovaná matice AT, která splňuje rovnici vlastní hodnoty, tedy pokud ATx = λx, pak λxT = (λx)T = (ATx)T = xTA, nebo xTA = λxT. Poslední rovnice je podobná rovnici vlastní hodnoty, ale místo sloupcového vektoru x obsahuje transponovaný vektor, řádkový vektor xT, který stojí na levé straně matice A. Vlastní vektory, které splňují rovnici vlastní hodnoty xTA = λxT, se nazývají levé vlastní vektory. Jsou to řádkové vektory. V mnoha běžných aplikacích je třeba brát v úvahu pouze pravé vlastní vektory. Proto lze nekvalifikovaný výraz „vlastní vektor“ chápat jako odkaz na pravé vlastní číslo. Rovnice vlastní hodnoty, psané ve smyslu pravých nebo levých vlastních vektorů (Ax = λx a xTA = λxT), mají stejné vlastní číslo λ.
Vlastní vektor je definován jako hlavní nebo dominantní vlastní vektor, pokud odpovídá vlastní veličině největší velikosti (pro reálná čísla největší absolutní hodnota). Opakovaná aplikace lineární transformace na libovolný vektor vede k vektoru úměrnému (kolineárnímu) k hlavnímu vlastnímu vektoru.
Určení vlastních čísel a vlastních čísel je důležité prakticky ve všech oblastech fyziky a mnoha inženýrských úloh, jako jsou výpočty napětí, analýza stability, oscilace vibračních systémů atd. Je ekvivalentní diagonalizaci matice a je prvním krokem orthogonalizace, hledání invariant, optimalizace (minimalizace nebo maximalizace), analýzy lineárních systémů a mnoha dalších běžných aplikací.
Obvyklá metoda hledání všech vlastních veličin a vlastních veličin systému je nejprve zbavit se neznámých komponent vlastních veličin, pak najít vlastní veličiny, zapojit je jednu po druhé do rovnice vlastní veličiny v maticové formě a vyřešit to jako soustavu lineárních rovnic pro nalezení komponent vlastních veličin. Z transformace identity Ix = x, kde I je matice identity, x v rovnici vlastní veličiny může být nahrazeno Ix dát:
Na to lze pohlížet jako na lineární soustavu rovnic, v níž je koeficientová matice výrazem v závorkách, matice neznámých je x a matice na pravé straně je nula. Podle Cramerova pravidla má tato soustava rovnic netriviální řešení (ne všechny nuly nebo žádné číslo) tehdy a jen tehdy, když její determinant zmizí, takže řešení rovnice jsou dána:
Tato rovnice je definována jako charakteristická rovnice (méně často sekulární rovnice) rovnice A a levá strana je definována jako charakteristický polynom. eigenvector x nebo jeho složky nejsou v charakteristické rovnici přítomny, takže v této fázi se od nich upouští a jediné neznámé, které zbývá vypočítat, jsou vlastní čísla (složky matice A jsou uvedeny, tj. předem známy). Pro vektorový prostor L2 je transformace A matice 2 × 2 čtvercová matice a charakteristickou rovnici lze zapsat v tomto tvaru:
Rozšíření determinantu v levé straně má za následek charakteristický polynom, který je monic (jeho vedoucí koeficient je 1) polynom druhého stupně, a charakteristická rovnice je kvadratická rovnice
který má tyto roztoky (kořeny):
Pro reálné matice jsou koeficienty charakteristického polynomu všechny reálné. Počet a typ kořenů závisí na hodnotě discriminantu Δ. Pro případy Δ = 0, Δ > 0 nebo Δ < 0 jsou kořeny jeden reálný, dva reálné nebo dva komplexní. Jsou-li kořeny komplexní, jsou také komplexními konjugáty jeden druhého. Je-li počet kořenů menší než stupeň charakteristického polynomu (ten je také pořadí matice a počet rozměrů vektorového prostoru), má rovnice násobný kořen. V případě kvadratické rovnice s jedním kořenem je tento kořen dvojitý, nebo kořen s násobkem 2. Kořen s násobkem 1 je jednoduchý kořen. Kvadratická rovnice se dvěma reálnými nebo komplexními kořeny má pouze jednoduché kořeny. Obecně platí, že algebraická multiplicita vlastní hodnoty je definována jako multiplicita odpovídajícího kořene charakteristického polynomu. Spektrum transformace na konečném rozměrném vektorovém prostoru je definováno jako množina všech vlastních hodnot. V případě nekonečného rozměru je pojem spektra jemnější a závisí na topologii vektorového prostoru.
Obecný vzorec pro charakteristický polynom n-kvadrát matice je
kde S0 = 1, S1 = tr(A), stopa transformační matice A a Sk s k > 1 jsou součty hlavních nezletilců řádu k. Skutečnost, že vlastní čísla jsou kořeny rovnice n-řádu ukazuje, že lineární transformace n-rozměrného lineárního prostoru
má nanejvýš n různých vlastních čísel. Podle základní věty algebry má v komplexním lineárním prostoru charakteristický polynom alespoň jednu nulu. V důsledku toho má každá lineární transformace komplexního lineárního prostoru alespoň jedno vlastní číslo. U reálných lineárních prostorů, je-li rozměr liché číslo, má lineární transformace alespoň jedno vlastní číslo; je-li rozměr sudé číslo, závisí počet vlastních čísel na determinantu transformační matice: je-li determinant záporný, existuje alespoň jedno kladné a jedno záporné vlastní číslo, je-li determinant kladný, nelze o existenci vlastních čísel nic říci. Složitost problému pro hledání kořenů/vlastních čísel charakteristického polynomu se rychle zvyšuje se zvyšujícím se stupněm polynomu (dimenze vektorového prostoru), n. Pro n = 3 jsou tedy vlastní čísla kořeny kubické rovnice, pro n = 4 – kořeny kvartické rovnice. Pro n > 4 neexistují žádná přesná řešení a je třeba se uchýlit k algoritmům pro hledání kořenů, jako je Newtonova metoda (Hornerova metoda) pro hledání číselných aproximací vlastních čísel. Pro velké symetrické řídké matice se používá Lanczosův algoritmus pro výpočet vlastních čísel a vlastních čísel.
Za účelem nalezení vlastních veličin jsou vlastní hodnoty takto nalezené jako kořeny charakteristických rovnic v rovnici vlastní hodnoty zapsané v maticové formě (ilustrace pro nejjednodušší případ dvourozměrného vektorového prostoru L2):
kde λ je jedno z vlastních čísel nalezených jako kořen charakteristické rovnice. Tato maticová rovnice je ekvivalentní soustavě dvou lineárních rovnic:
Rovnice jsou pro x a y řešeny obvyklými algebraickými nebo maticovými metodami. Často je možné rozdělit obě strany rovnic na jeden nebo více koeficientů, čímž se některé koeficienty před neznámými rovnají 1. Tomu se říká normalizace vektorů a odpovídá výběru jednoho z vlastních vektorů (normalizovaný vlastní vektor) jako zástupce všech vektorů v vlastním prostoru odpovídajících příslušnému vlastnímu číslu. Takto nalezené x a y jsou složky vlastního vektoru v používané souřadnicové soustavě (nejčastěji karteziánské nebo polární).
Pomocí Cayleyho-Hamiltonovy věty, která říká, že každá čtvercová matice vyhovuje své charakteristické rovnici, lze prokázat, že (obecně v komplexním prostoru) existuje alespoň jeden nenulový vektor, který vyhovuje rovnici vlastní hodnoty pro tuto matici. Jak bylo řečeno v oddílu Definice, každé vlastní hodnotě odpovídá nekonečný počet kolineárních (lineárně závislých) vlastních vektorů, které tvoří vlastní prostor pro tuto vlastní hodnotu. Na druhé straně, rozměr vlastního čísla je roven počtu lineárně nezávislých vlastních vektorů, které obsahuje. Geometrická multiplicita vlastního čísla je definována jako rozměr přidruženého vlastního čísla. Vícenásobné vlastní číslo může dát vzniknout jedinému vlastnímu číslu, takže jeho algebraická multiplicita může být odlišná od geometrické multiplicity. Nicméně, jak již bylo řečeno, různá vlastní čísla jsou spárována s lineárně nezávislými vlastními čísly. Z výše uvedeného vyplývá, že geometrická multiplicita nemůže být větší než algebraická multiplicita.
Například vlastní vektor rotace ve třech rozměrech je vektor umístěný uvnitř osy, kolem které se rotace provádí. Odpovídající vlastní číslo je 1 a odpovídající vlastní prostor obsahuje všechny vektory podél osy. Protože se jedná o jednorozměrný prostor, jeho geometrická multiplicita je jedna. Toto je jediné vlastní číslo spektra (této rotace), které je reálné číslo.
Následující příklady jsou pro nejjednodušší případ dvourozměrného vektorového prostoru L2, ale mohou být snadno aplikovány stejným způsobem na prostory vyšších rozměrů.
Homothetie, identita, reflexe bodu a nulová transformace
Obr. 3. Když se plocha táhne rovnoměrně v homothetě, může být eigenvectorem kterýkoli z radiálních vektorů.
Jako jednorozměrný vektorový prostor L1 uvažujme gumovou šňůru přivázanou k nehybné podpěře na jednom konci, například na dětském závěsu. Odtáhnutím šňůry od místa připevnění se natahuje a prodlužuje nějakým škálovacím faktorem λ, což je reálné číslo. Každý vektor na šňůře se natahuje stejně, se stejným škálovacím faktorem λ, a i když je protažený, zachovává si svůj původní směr. Tento typ transformace se nazývá homotheta (podobnostní transformace). Pro dvourozměrný vektorový prostor L2 uvažujme gumovou plachtu nataženou stejně do všech směrů, například malou plochu povrchu nafukovacího balónu (obr. 3). Všechny vektory pocházející z pevného bodu na povrchu balónu se natahují stejně se stejným škálovacím faktorem λ. Transformace homothety ve dvourozměrném prostoru je popsána 2 × 2 čtvercovou maticí, která působí na libovolný vektor v rovině roztahovacího/zmenšujícího se povrchu. Po provedení maticového násobení získáme:
což, vyjádřeno slovy, znamená, že transformace se rovná vynásobení délky vektoru λ při zachování jeho původního směru. Takto získaná rovnice je přesně rovnice vlastní hodnoty. Vzhledem k tomu, že získaný vektor byl libovolný, v homothetě každý vektor ve vektorovém prostoru prochází rovnicí vlastní hodnoty, tj. každý vektor ležící na povrchu balónu může být vlastní vektor. Zda se transformace roztahuje (prodloužení, prodloužení, inflace), nebo zmenšuje (komprese, deflace) závisí na škálovacím faktoru: pokud λ > 1, roztahuje se, pokud λ < 1, zmenšuje se.
Několik dalších transformací lze považovat za zvláštní typy homothety s určitou pevnou konstantní hodnotou λ: v identitě, která ponechává vektory nezměněné, λ = 1; v reflexi o bodu, který zachovává délku a směr vektorů, ale mění jejich orientaci na opačný, λ = −1; a v nullové transformaci, která transformuje každý vektor na nulový vektor, λ = 0. Nulová transformace nedává vzniknout vlastnímu vektoru, protože nulový vektor nemůže být vlastním vektorem, ale má vlastní vektor, protože vlastní vektor obsahuje také nulový vektor.
Pro trochu složitější příklad uvažujme list, který je nerovnoměrně natažen ve dvou kolmých směrech podél os souřadnic nebo obdobně natažen v jednom směru a zmenšen v opačném směru. V tomto případě existují dva různé škálovací faktory: k1 pro škálování ve směru x a k2 pro škálování ve směru y. Transformační matice je , a charakteristická rovnice je λ2 − λ (k1 + k2) + k1k2 = 0. Vlastní hodnoty získané jako kořeny této rovnice jsou λ1 = k1 a λ2 = k2, což podle očekávání znamená, že obě vlastní hodnoty jsou škálovacími faktory v obou směrech. Zapojením k1 zpět do rovnice vlastní hodnoty získáme jedno z vlastních čísel:
Vydělíme-li poslední rovnici k2 − k1, dostaneme y = 0, což představuje osu x. Vektor s délkou 1, který je veden podél této osy, představuje normalizované vlastní číslo odpovídající vlastnímu číslu λ1. Stejným způsobem se najde i vlastní číslo odpovídající λ2, které je jednotkovým vektorem podél osy y. V tomto případě jsou obě vlastní čísla jednoduchá (s algebraickými a geometrickými násobky rovnými 1). V závislosti na hodnotách λ1 a λ2 existuje několik pozoruhodných zvláštních případů. Zejména pokud λ1 > 1 a λ2 = 1, transformace je úsek ve směru osy x. Pokud λ2 = 0 a λ1 = 1, transformace je průmětem povrchu L2 na osu x, protože všechny vektory ve směru y se stávají nulovými vektory.
Nechte gumovou plachtu napnout podél osy x (k1 > 1) a současně zmenšit podél osy y (k2 < 1). Pak λ1 = k1 bude hlavní vlastní číslo. Opakovaná aplikace této transformace napínání/smršťování mnohokrát na gumovou plachtu obrátí gumovou plachtu více a více podobně jako gumovou šňůru. Jakýkoliv vektor na povrchu gumové plachty bude orientován blíže a blíže ke směru osy x (směru napínání), to znamená, že se stane kolineární s hlavní vlastní číslo.
Pro příklad na pravé straně, matice, která by produkovat smykové transformace podobné tomu by bylo
Sada vlastních vektorů pro je definována jako ty vektory, které při násobení , Výsledkem je jednoduché škálování . Tedy,
Pokud se omezíme na reálná vlastní čísla, jediným účinkem matice na vlastní čísla bude změna jejich délky a možná i obrácení jejich směru. Takže vynásobením pravé strany maticí identity I máme
Aby tato rovnice měla netriviální řešení, požadujeme, aby determinant , Který se nazývá charakteristický polynom matice A, byl nulový. V našem příkladu můžeme vypočítat determinant jako
a nyní jsme získali charakteristický polynom matice A. Existuje v tomto případě pouze jedno odlišné řešení rovnice , . Jedná se o vlastní číslo matice A. Stejně jako ve studiu kořenů polynomů, je vhodné říci, že toto vlastní číslo má multiplicity 2.
Poté, co našel vlastní číslo , Můžeme vyřešit pro prostor vlastní vektory tím, že najde nullspace na . Jinými slovy tím, že řešení pro vektory, které jsou řešení
Náhrada naší získané vlastní číslo ,
Řešení této nové maticové rovnice, zjistíme, že vektory v nulovém prostoru mají formu
kde c je libovolná konstanta. Všechny vektory této formy, tj. směřující přímo nahoru nebo dolů, jsou vlastními čísly matice A. Výsledek aplikace matice A na tyto vektory se rovná jejich vynásobení odpovídající vlastní hodnotou, v tomto případě 1.
Obecně platí, že matice 2×2 budou mít dvě odlišná vlastní čísla, a tedy dvě odlišná vlastní čísla. Zatímco u většiny vektorů bude matice měnit jak délku, tak směr, u vlastních čísel se bude měnit pouze délka a směr se měnit nebude, snad kromě toho, že se prolistuje počátkem v případě, kdy je vlastní číslo záporné. Obvykle také platí, že vlastní číslo bude něco jiného než 1, a tak budou vlastní čísla roztažena, rozmačkána a/nebo prolétnuta počátkem pomocí matice.
Jak se Země otáčí, každá šipka směřující ven ze středu Země se také otáčí, kromě těch šipek, které jsou rovnoběžné s osou rotace. Vezměme si transformaci Země po jedné hodině rotace: Šipka ze středu Země na Zeměpisný jižní pól by byla vlastní vektor této transformace, ale šipka ze středu Země kamkoli na rovník by nebyla vlastní vektor. Protože šipka ukazující na pól není natažená rotací Země, její vlastní vektor je 1.
Obr. 2. Stojící vlna v laně upevněném na jeho hranicích je příkladem vlastní veličiny, přesněji řečeno vlastní funkce transformace udávající zrychlení. Jak čas plyne, stojící vlna je škálována sinusovou oscilací, jejíž frekvence je určena vlastní veličinou, ale její celkový tvar se nemění.
Trojrozměrný geometrický prostor však není jediným vektorovým prostorem. Vezměme si například namáhané lano upevněné na obou koncích, podobně jako vibrující struny strunného nástroje (obr. 2). Vzdálenosti atomů vibrujícího lana od jejich pozic, když je lano v klidu, můžeme vidět jako složky vektoru v prostoru s tolika rozměry, kolik je atomů v laně.
Předpokládejme, že lano je spojité médium. Pokud uvažujeme rovnici pro zrychlení v každém bodě lana, jeho vlastní vektory nebo vlastní funkce jsou stojící vlny. Stojící vlny odpovídají konkrétním kmitům lana tak, že zrychlení lana je jednoduše jeho tvar zvětšený o faktor – tento faktor, vlastní hodnota, se ukáže být tam, kde je úhlová frekvence kmitání. Každá složka vektoru spojená s lanem je vynásobena faktorem závislým na čase . Pokud uvažujeme tlumení, amplituda tohoto kmitání se snižuje, dokud lano nepřestane kmitat, což odpovídá komplexnímu ω. Jeden pak může spojit celý život s imaginární částí ω a vztáhnout koncept vlastního vektoru ke konceptu rezonance. Bez tlumení, skutečnost, že operátor zrychlení (za předpokladu jednotné hustoty) je Hermitian vede k několika důležitým vlastnostem, například, že vzory stojících vln jsou ortogonální funkce.
Někdy je však nepřirozené nebo dokonce nemožné zapsat rovnici vlastní hodnoty v maticové formě. K tomu dochází například tehdy, když je vektorový prostor nekonečně dimenzionální, například v případě výše uvedeného lana. V závislosti na povaze transformace T a prostoru, na který se vztahuje, může být výhodné reprezentovat rovnici vlastní hodnoty jako množinu diferenciálních rovnic. Je-li T diferenciální operátor, jsou vlastní vektory běžně nazývány vlastními funkcemi diferenciálního operátoru reprezentujícího T. Například samotná diferenciace je lineární transformace, protože
(f(t) a g(t) jsou diferencovatelné funkce, a a a b jsou konstanty).
Zvažte diferenciaci s ohledem na . Jeho eigenfunctions h(t) se řídí rovnicí vlastní hodnoty:
kde λ je vlastní hodnota spojená s funkcí. Taková funkce času je konstantní, pokud , roste úměrně k sobě, pokud je pozitivní, a rozkládá se úměrně k sobě, pokud je negativní. Například idealizovaná populace králíků se množí rychleji, čím více králíků je, a tak splňuje rovnici s pozitivním lambda.
Řešení rovnice vlastní hodnoty je , exponenciální funkce; tato funkce je tedy vlastní funkcí diferenciálního operátoru d/dt s vlastní hodnotou λ. Je-li λ záporné, nazýváme vývoj g exponenciálním útlumem; je-li kladné, exponenciálním růstem. Hodnota λ může být libovolné komplexní číslo. Spektrum d/dt je tedy celá komplexní rovina. V tomto příkladu je vektorový prostor, ve kterém operátor d/dt působí, prostorem diferencovatelných funkcí jedné proměnné. Tento prostor má nekonečný rozměr (protože není možné vyjádřit každou diferencovatelnou funkci jako lineární kombinaci konečného počtu základních funkcí). Nicméně, vlastní prostor spojený s libovolným vlastním číslem λ je jednorozměrný. Je to množina všech funkcí , kde A je libovolná konstanta, počáteční populace v t=0.
Ve své nejjednodušší verzi spektrální věta uvádí, že za určitých podmínek může být lineární transformace vektoru vyjádřena jako lineární kombinace vlastních vektorů, ve které se koeficient každého vlastního vektoru rovná odpovídajícímu vlastnímu číslu krát skalární součin (nebo skalární součin) vlastního vektoru s vektorem . Matematicky to lze zapsat jako:
kde a stát pro vlastní vektory a vlastní hodnoty . Věta je platná pro všechny self-adjoint lineární transformace (lineární transformace dané reálnými symetrické matice a Hermitova matice), a pro obecnější třídy (komplexní) normální matice.
Pokud definujeme n-tou mocninu transformace jako výsledek jejího uplatnění n krát za sebou, můžeme také definovat polynomy transformací. Obecnější verze věty je, že každý polynom P je dán
Věta může být rozšířena na další funkce transformace, například analytické funkce, nejobecnější případ je Borel funkce.
Spektrální věta pro matice může být uvedena následovně. Dovolit je čtvercová () matice. Dovolit je základ eigenvector, tj. indexovaná množina k lineárně nezávislých eigenvectors, kde k je rozměr prostoru rozloženého vlastními vektory z . Pokud k=n, pak může být napsáno
kde je čtverec () matice, jejíž ith sloupec je základ eigenvector na a je diagonální matice, jejíž diagonální prvky jsou odpovídající vlastní čísla, tj. .
Nekonečně dimenzionální prostory
Je-li vektorový prostor nekonečně dimenzionálním Banachovým prostorem, pojem vlastních čísel lze zobecnit na pojem spektra. Spektrum je množina skalárů λ, pro které není definována; tedy taková, která nemá ohraničenou inverzní hodnotu.
Je jasné, že pokud λ je vlastní číslo T, λ je ve spektru T. Obecně platí, že konverze není pravdivá. Existují operátory na Hilbertově nebo Banachově prostoru, které nemají vůbec žádné vlastní číslo. To je vidět na následujícím příkladu. Oboustranný posun na Hilbertově prostoru (prostor všech sekvencí skalárů takové, že konverguje) nemá vlastní číslo, ale má spektrální hodnoty.
V nekonečně dimenzionálních prostorech je spektrum ohraničeného operátoru vždy neprázdné. To platí i pro neomezený sousedící operátor. Prostřednictvím jeho spektrálních měr lze spektrum libovolného sousedícího operátoru, ohraničeného nebo jiného, rozložit na absolutně spojité, čistý bod a singulární části. (Viz Rozklad spektra.)
Exponenciální funkce jsou eigenfunkce derivačního operátoru (derivace exponenciálních funkcí je úměrná sama sobě). Exponenciální růst a rozpad proto poskytují příklady spojitého spektra, stejně jako příklad vibračního řetězce znázorněný výše. Atom vodíku je příkladem, kde se objevují oba typy spektra. eigenfunkce atomu vodíku Hamiltonova se nazývají eigenstáty a jsou seskupeny do dvou kategorií. Vázané stavy atomu vodíku odpovídají diskrétní části spektra (mají diskrétní sadu vlastních hodnot, které lze vypočítat Rydbergovým vzorcem), zatímco ionizační procesy jsou popsány spojitou částí (energie srážky/ionizace není kvantifikována).
Obr. 4. Na vlnové funkce spojené se vázanými stavy elektronu v atomu vodíku lze pohlížet jako na vlastní vektory atomu vodíku Hamiltonova i operátoru momentu hybnosti. Jsou spojeny s vlastními vektory interpretovanými jako jejich energie (zvyšující se směrem dolů: n=1,2,3,…) a momentu hybnosti (zvyšující se napříč: s, p, d,…). Na obrázku je znázorněna druhá mocnina absolutní hodnoty vlnových funkcí. Jasnější oblasti odpovídají vyšší hustotě pravděpodobnosti pro měření polohy. Středem každého obrázku je atomové jádro, proton.
kde H, Hamiltonian, je druhý-pořadí diferenciální operátor a , vlnová funkce, je jedním z jeho eigenfunctions odpovídající vlastní číslo E, interpretován jako jeho energie.
Avšak v případě, kdy se člověk zajímá pouze o řešení vázaných stavů Schrödingerovy rovnice, hledá v prostoru čtvercových integrálních funkcí. Jelikož je tento prostor Hilbertovým prostorem s dobře definovaným skalárním součinem, lze zavést základní množinu, v níž a H lze reprezentovat jako jednorozměrné pole a matici. To umožňuje reprezentovat Schrödingerovu rovnici v maticové formě. (Obr. 4 představuje nejnižší eigenfunkce vodíkového atomu Hamiltonova.)
Diracova notace je v této souvislosti často používána. Vektor, který představuje stav systému, v Hilbertově prostoru čtvercových integrálních funkcí je reprezentován . V této notaci je Schrödingerova rovnice:
kde je vlastní adjoint operátor, nekonečný rozměrový analog Hermitových matic (viz Pozorovatelný). Stejně jako v případě matice, ve výše uvedené rovnici se rozumí vektor získaný aplikací transformace H na .
V kvantové mechanice, a zejména v atomové a molekulární fyzice, v rámci Hartreeho-Fockovy teorie, mohou být atomové a molekulární orbitaly definovány vlastními čísly Fockova operátoru. Odpovídající vlastní čísla jsou interpretována jako ionizační potenciály prostřednictvím Koopmansovy věty. V tomto případě se termín vlastní číslo používá v poněkud obecnějším významu, protože Fockův operátor je explicitně závislý na orbitalech a jejich vlastních číslech. Pokud chceme tento aspekt podtrhnout, hovoříme o implicitní rovnici vlastní hodnoty. Takové rovnice jsou obvykle řešeny iterační procedurou, v tomto případě samokonzistentní terénní metodou. V kvantové chemii se často reprezentuje Hartreeho-Fockova rovnice v ne-ortogonální bázové množině. Tato konkrétní reprezentace je zobecněný problém vlastní hodnoty nazývaný Roothaanovy rovnice.
Geologie a glaciologie: (Orientace Tensor)
V geologii, zejména při studiu ledovcových kaskád, se vlastní vektory a vlastní vektory používají jako metoda, kterou lze hmotnost informace o orientaci a ponoru složek klasovité tkaniny shrnout do prostorového prostoru šesti čísly. V terénu může geolog shromáždit taková data pro stovky nebo tisíce klasů ve vzorku půdy, které lze porovnávat pouze graficky, například v Tri-Plotově (Sneedově a Folkově) diagramu , , nebo jako Stereonet na Wulffově síti . Výstup pro orientační tenzor je ve třech ortogonálních (kolmých) osách prostoru. Výstup z Eigenvectorů z programů jako Stereo32 je v pořadí E1 > E2 > E3, přičemž E1 je primární orientace orientace/ponoru klasu, E2 je sekundární a E3 je terciální, pokud jde o pevnost. Orientace klasu je definována jako Eigenvector, na kompasové růžici 360°. Ponor se měří jako Eigenvalue, modul tenzoru: ten se oceňuje od 0° (bez ponoru) do 90° (svisle). Různé hodnoty E1, E2 a E3 znamenají různé věci, jak je vidět v knize ‚A Practical Guide to the Study of Glacial Sediments‘ od Benn & Evans, 2004 .
V analýze faktorů odpovídají vlastní vektory kovarianční matice nebo korelační matice faktorům a vlastní hodnoty rozptylu vysvětlenému těmito faktory. Analýza faktorů je statistická technika používaná ve společenských vědách a v marketingu, produktovém managementu, provozním výzkumu a dalších aplikovaných vědách, které se zabývají velkým množstvím dat. Cílem je vysvětlit většinu kovariability mezi řadou pozorovatelných náhodných proměnných z hlediska menšího počtu nepozorovatelných latentních proměnných nazývaných faktory. Pozorovatelné náhodné proměnné jsou modelovány jako lineární kombinace faktorů plus jedinečné varianční podmínky. Osminy se používají v analýze používané softwarem Q-metodologie; faktory s vlastní hodnotou větší než 1,00 jsou považovány za významné, což vysvětluje významnou míru variability v datech, zatímco vlastní hodnoty menší než 1,00 jsou považovány za příliš slabé, což nevysvětluje významnou část variability dat.
Obr. 5. Osmenfaces jako příklady vlastních vektorů
Podobně jako tento koncept je také vyvinut koncept vlastních čísel, který představuje obecný směr variability v lidské výslovnosti konkrétního projevu, například slova v jazyce. Na základě lineární kombinace takových vlastních čísel lze sestavit novou hlasovou výslovnost slova. Tyto koncepty byly shledány užitečnými v systémech automatického rozpoznávání řeči, pro adaptaci mluvčího.
V mechanice vektory setrvačníkového tenzoru definují hlavní osy tuhého tělesa. Tenzor setrvačnosti je klíčová veličina potřebná k určení rotace tuhého tělesa kolem jeho těžiště.
V pevné mechanice je tenzor napětí symetrický, a tak se může rozložit na diagonální tenzor s vlastními čísly na diagonále a vlastními čísly jako základem. Protože je diagonální, v této orientaci nemá tenzor napětí žádné smykové složky; hlavní složky, které má, jsou ty, které má.
V teorii spektrálních grafů je vlastní číslo grafu definováno jako vlastní číslo matice A, nebo (stále více) Laplaceovy matice grafu, což je buď T−A nebo I−T 1/2AT −1/2, kde T je diagonální matice držící stupeň každého vrcholu a v T −1/2 je 0 nahrazeno 0−1/2. kth hlavní vlastní číslo grafu je definováno buď jako vlastní číslo odpovídající kth největší vlastní číslo A, nebo jako vlastní číslo odpovídající kth nejmenší vlastní číslo Laplaceovy matice. První hlavní vlastní číslo grafu je také označováno pouze jako hlavní vlastní číslo.
Hlavní vlastní vektor se používá k měření centralizace jeho vrcholů. Příkladem je algoritmus PageRank od Googlu. Hlavní vlastní vektor modifikované matice adjacency grafu World Wide Web udává pořadí stránek jako jeho komponenty. Tento vektor odpovídá stacionárnímu rozdělení Markovova řetězce reprezentovanému maticí adjacency normalizovanou na řádek; nicméně matice adjacency musí být nejprve upravena, aby bylo zajištěno stacionární rozdělení. Druhý hlavní vlastní vektor lze použít k rozdělení grafu na clustery, a to prostřednictvím spektrálního shlukování.