Geometrický průměr množiny pozitivních dat je definován jako n-tý kořen součinu všech členů množiny, kde n je počet členů.
Ve vzorci: geometrický průměr z
a1, a2, …, an je , Což je .
Geometrický průměr množiny dat je vždy menší nebo roven aritmetickému průměru množiny (oba průměry jsou stejné tehdy a jen tehdy, jsou-li si všichni členové množiny dat rovni). To umožňuje definovat aritmeticko-geometrický průměr, směs obou, která vždy leží mezi.
Geometrický průměr je také aritmeticko-harmonický průměr v tom smyslu, že pokud jsou definovány dvě posloupnosti (an) a (hn):
pak a hn konverguje k geometrickému průměru x a y.
Vztah k aritmetickému průměru logaritmů
Tvar součinu výpočtu geometrického průměru se vyjadřuje takto:
Pomocí logaritmických identit pro transformaci vzorce můžeme vyjádřit násobení jako součet a mocninu jako násobení.
To je jednoduchý výpočet aritmetického průměru logaritmicky transformovaných hodnot (tj. aritmetického průměru na logaritmické stupnici) a pak pomocí exponenciace vrátit výpočet na původní stupnici. Tj. je to zobecněný f-průměr s f(x) = ln x.
Proto geometrický průměr souvisí s logaritmicko-normálním rozdělením.
Logaritmicko-normální rozdělení je rozdělení, které je normální pro logaritmicky
transformované hodnoty. Vidíme, že
geometrický průměr je exponenciální hodnota průměru logaritmicky transformovaných
hodnot, např. emean(ln(X)).
Kdy použít geometrický průměr
Geometrický průměr je užitečný pro určení „průměrných faktorů“. Například pokud akcie vzrostla o 10% v prvním roce, o 20% ve druhém roce a klesla o 15% ve třetím roce, pak vypočítáme geometrický průměr faktorů 1,10, 1,20 a 0,85 jako (1,10 × 1,20 × 0,85)1/3 = 1,0391… a dojdeme k závěru, že akcie vzrostla v průměru o 3,91 procenta ročně.
Aritmetický průměr je relevantní pokaždé, když se sečte několik veličin a vznikne součet. Aritmetický průměr odpovídá na otázku, „kdyby všechny veličiny měly stejnou hodnotu, jaká by tato hodnota musela být, aby bylo dosaženo stejného součtu?“
Stejně tak je geometrický průměr relevantní pokaždé, když se několik veličin společně vynásobí, aby vznikl produkt. Geometrický průměr odpovídá na otázku, „pokud by všechny veličiny měly stejnou hodnotu, jaká by tato hodnota musela být, aby bylo dosaženo stejného produktu?“