Kinematika (z řeckého κίνειν, kinein, pohyb) je větev klasické mechaniky, která popisuje pohyb objektů bez ohledu na příčiny vedoucí k pohybu. Druhou větev je dynamika, která studuje vztah mezi pohybem objektů a jeho příčinami. Kinematiku nelze zaměňovat s kinetikou a s dynamikou, jak se používá v moderní denní fyzice; tento termín se již aktivně nepoužívá. Psychologové používají kinematiku jako základ výpočtů při studiu pohybu u zvířat i u člověka.
Nejjednodušší aplikace kinematiky je pro pohyb částic, translační nebo rotační. Další úroveň složitosti je zavedena zavedením tuhých těles, což jsou soubory částic, které mají mezi sebou časově invariantní vzdálenosti. Tuhá tělesa mohou projít translací a rotací nebo kombinací obojího.
Komplikovanějším případem je kinematika soustavy tuhých těles, případně spojených dohromady mechanickými spoji. Kinematický popis proudění tekutiny je ještě složitější a v souvislosti s kinematikou se o něm obecně neuvažuje.
Lineární nebo translační kinematika je popis pohybu v prostoru bodu podél přímky, také známý jako trajektorie nebo cesta. Tato cesta může být buď přímá (přímočará) nebo zakřivená (křivočará). Existují tři základní pojmy, které jsou potřebné pro pochopení lineárního pohybu:
Posun (značený r níže) je „vektorová“ verze vzdálenosti a směru. Je to nejkratší vzdálenost mezi dvěma body. Vzhledem k nějakému původu, (řekněme v 0 = (0, 0, 0)) pomocí souřadnicového systému definovaného pozorovatelem mohou být oba body v r1 a r2. Protože posun je vektor, posuv mezi oběma body se zjistí odečtením vektoru jako:
Rychlost (značená υ níže) je míra rychlosti změny posunu vzhledem k času;(M/s.), což je posunutí bodu změny v čase. Rychlost je také vektor. Okamžitá rychlost (rychlost v okamžiku času) je definována jako
kde dr je nekonečně malý posun a dt je nekonečně malá délka času. Protože dr je nutně vzdálenost mezi dvěma nekonečně rozmístěnými body podél dráhy bodu, je to stejné jako přírůstek délky oblouku podél dráhy bodu, obvykle označovaný ds. Průměrná rychlost (rychlost za dobu) je definována jako
kde Δ r je změna posunutí a Δt je časový interval, za který se posunutí mění. Jak se Δt stává menším a menším, υave → υ .
Pro rychlostní konstantu ve velikosti a směru každá jednotka času přičítá délku vektoru rychlosti (ve stejném směru) k posunutí pohyblivého bodu. Je-li známa změna posunu (vektor), je rychlost s ním rovnoběžná.
Zrychlení (značené a níže) je vektorová veličina popisující rychlost změny s časem rychlosti. Zrychlení je také vektor. Okamžité zrychlení (zrychlení v časovém okamžiku) je definováno jako:
kde d υ je nekonečně malá změna rychlosti a dt je nekonečně malá délka času. Průměrné zrychlení (zrychlení za určitou dobu) je definováno jako:
kde Δ υ je změna rychlosti a Δt je časový interval, za který se rychlost mění. Jak se Δt stává menším a menším, aave → a .
Je-li zrychlení konstantní co do velikosti a směru, za každou jednotku času se k rychlosti přičte délka vektoru zrychlení (ve stejném směru). Je-li známa změna rychlosti (vektor), je zrychlení s ní rovnoběžné.
Existují dva druhy pohybu obecně: stejnoměrný a nejednotný. Jednotný pohyb znamená konstantní rychlost v přímce. Nejednotný pohyb znamená zrychlení. Pokud se zrychlení mění v čase, rychlost změny zrychlení se nazývá trhnutí.
Výše uvedené definice lze převrátit integrací a najít:
kde je dvojitá integrace redukována na jednu integraci výměnou pořadí integrace a dolní index 0 značí vyhodnocení v t = 0 (počáteční hodnoty).
Integrační zrychlení ( a ) vzhledem k času (t) udává změnu rychlosti. Je-li zrychlení konstantní jak ve směru, tak ve velikosti, má se za to, že bod prochází rovnoměrně zrychleným pohybem. V tomto případě lze výše uvedené rovnice zjednodušit:
Ti, kteří jsou obeznámeni s kalkulem, mohou tento problém rozpoznat jako problém počáteční hodnoty. Když je zrychlení konstantní, jednoduché přičtení součinu zrychlení a času k počáteční rychlosti ( υ0) dává konečnou rychlost ( υ ). Jiná časová integrace poskytuje posunutí objektu za předpokladu počáteční polohy v čase t = 0 z r0:
Pomocí výše uvedeného vzorce můžeme nahradit υ, abychom dospěli k následující rovnici, kde r je výtlak.
Použitím definice průměru tato rovnice říká, že když je zrychlení konstantní průměrná rychlost krát čas rovná se posunutí.
Pro zjednodušení nastavíme r0 = 0. Použijeme Eq. (1) najdeme υ−υ0 a vynásobíme Eq. (3) najdeme spojení mezi konečnou rychlostí v čase t a posunem v tomto čase:
kde „•“ označuje vektorový skalární součin. Dělení t na obou stranách a vynášení skalárních součinů:
což může být užitečný výsledek, když čas není znám explicitně.
K popisu pohybu objektu A vzhledem k objektu B, když víme, jak se každý pohybuje vzhledem k referenčnímu objektu O, můžeme použít vektorovou algebru. Zvolte původ pro referenci a nechte pozice objektů A, B a O označit rA, rB a rO. Pak pozice A vzhledem k referenčnímu objektu O je
V důsledku toho je pozice A vzhledem k B
Výše uvedená relativní rovnice říká, že pohyb A vzhledem k B se rovná pohybu A vzhledem k O minus pohyb B vzhledem k O. Může být jednodušší si představit tento výsledek, pokud podmínky jsou re-uspořádány:
nebo, slovy, pohyb A vzhledem k odkazu je, že B plus relativní pohyb A vzhledem k B. Tyto vztahy mezi posuny se stanou vztahy mezi rychlostmi o jednoduchý čas-diferenciace, a druhá diferenciace je aplikovat na zrychlení.
Chcete-li najít jsme jednoduše přeskupit tuto rovnici získat:
Při rychlostech srovnatelných s rychlostí světla tyto rovnice neplatí. Nahrazují je rovnice odvozené z Einsteinovy teorie speciální relativity.
Obrázek A: Objekt je vystřelen vzhůru, dosáhne svého vrcholu a pak začne klesat při konstantním zrychlení.
Vezměme si objekt, který je vystřelen přímo vzhůru a padá zpět k zemi tak, že jeho trajektorie je obsažena v přímce. Pokud přijmeme konvenci, že směr vzhůru je kladný směr, objekt zažívá konstantní zrychlení přibližně -9,81 m/s2. Proto lze jeho pohyb modelovat pomocí rovnic, kterými se řídí rovnoměrně zrychlený pohyb.
Pro příklad předpokládejme, že objekt má počáteční rychlost +50 m/s. Existuje několik zajímavých kinematických otázek, které si můžeme položit ohledně pohybu částice:
Jak dlouho bude ve vzduchu?
Pro odpověď na tuto otázku použijeme vzorec
Vzhledem k tomu, že otázka se ptá na dobu mezi tím, co objekt opustí zem a dopadne na zem při svém pádu, posunutí je nulové.
Najdeme pro to dvě řešení. Triviální řešení říká, že čas je nula; to je vlastně také pravda, je to první moment, kdy je posunutí nula: právě když se začne pohybovat. Nicméně, řešení zájmu je
Jaké výšky dosáhne, než začne padat?
V tomto případě použijeme skutečnost, že objekt má na vrcholu své dráhy nulovou rychlost. Proto je použitelná rovnice:
Jaká bude jeho konečná rychlost, až dosáhne země?
Pro odpověď na tuto otázku používáme skutečnost, že objekt má počáteční rychlost nula na vrcholu, než začne klesat. Můžeme použít stejnou rovnici, kterou jsme použili pro poslední otázku, s použitím hodnoty 127,55 m pro .
Za předpokladu, že tento experiment byl proveden ve vakuu (negující účinky tahu), zjistíme, že konečná a počáteční rychlost jsou stejné, což je výsledek, který souhlasí s úsporou energie.
Obrázek B: Objekt vystřelený pod úhlem od země sleduje parabolickou trajektorii.
Předpokládejme, že objekt není vystřelen vertikálně, ale je vystřelen pod úhlem od země. Objekt pak bude sledovat parabolickou trajektorii a jeho horizontální pohyb může být modelován nezávisle na jeho vertikálním pohybu. Předpokládejme, že objekt je vystřelen počáteční rychlostí 50 m/s a 30 stupňů od horizontální.
Jak daleko se dostane, než dopadne na zem?
Objekt zaznamená zrychlení -9,81 ms-2 ve svislém směru a žádné zrychlení ve vodorovném směru. Proto je horizontální posunutí
Abychom tuto rovnici vyřešili, musíme najít t. To lze provést analýzou pohybu ve vertikálním směru. Pokud zavedeme, že vertikální posun je nula, můžeme použít stejný postup jako u přímočarého pohybu, abychom našli t.
Nyní řešíme t a nahrazujeme tento výraz do původního výrazu pro horizontální posunutí. (Všimněte si použití trigonometrické identity )
Obrázek 1: Vektor úhlové rychlosti Ω ukazuje nahoru proti směru hodinových ručiček a dolů po směru hodinových ručiček, jak je specifikováno pravidlem pravé ruky. Úhlová poloha θ(t) se mění s časem rychlostí ω(t) = dθ / dt.
Rotační nebo úhlová kinematika je popis rotace objektu. Popis rotace vyžaduje nějakou metodu pro popis orientace, například Eulerovy úhly. V následujícím textu je pozornost omezena na jednoduchou rotaci kolem osy pevné orientace. Osa z byla zvolena pro pohodlí.
Úhlová poloha: Orientovaná vzdálenost od vybraného počátku na rotační ose k bodu objektu je vektor r ( t ) určující polohu bodu. Vektor r ( t ) má nějakou projekci (nebo ekvivalentně nějakou složku) r ( t ) na rovinu kolmou k ose rotace. Úhlová poloha tohoto bodu je pak úhel θ od vztažné osy (typicky kladná osa x) k vektoru r ( t ) ve známém smyslu rotace (typicky daný pravidlem pravé ruky).
Úhlová rychlost: Úhlová rychlost ω je rychlost, se kterou se úhlová poloha θ mění vzhledem k času t:
Úhlová rychlost je na obrázku 1 znázorněna vektorem Ω směřujícím podél osy rotace s velikostí ω a smyslem určeným směrem rotace, jak je dáno pravidlem pravé ruky.
Úhlové zrychlení: Velikost úhlového zrychlení je rychlost, kterou se mění úhlová rychlost vzhledem k času t:
Zde a jsou, respektive, počáteční a konečná úhlová pozice, a jsou, respektive, počáteční a konečná úhlová rychlost, a je konstantní úhlová akcelerace. Ačkoli pozice v prostoru a rychlost v prostoru jsou oba pravdivé vektory (z hlediska jejich vlastností při rotaci), stejně jako úhlová rychlost, samotný úhel není pravdivý vektor.
Bodový objekt v kruhovém pohybu
Tento příklad se zabývá „bodovým“ objektem, čímž se míní, že se ignorují komplikace způsobené rotací samotného těla kolem jeho vlastního těžiště.
Posun. Objekt v kruhovém pohybu je umístěn na pozici r ( t ) dané:
kde uR je jednotkový vektor směřující ven od osy rotace směrem k okraji kruhu pohybu, který se nachází v poloměru R od osy.
Lineární rychlost. Rychlost objektu je pak
Velikost jednotkového vektoru uR (z definice) je pevná, takže jeho časová závislost je zcela způsobena jeho rotací s poloměrem k objektu, tedy,
Rychlost je tedy tangenciální k kruhové oběžné dráze objektu, směřuje ve směru rotace a zvyšuje se v čase, pokud ω roste v čase.
Lineární zrychlení. Stejným způsobem je zrychlení objektu definováno jako:
který ukazuje vedoucí výraz aθ ve zrychlení tangenciální k oběžné dráze vztahující se k úhlovému zrychlení objektu (za předpokladu, že ω se mění v čase) a druhý výraz aR směřující dovnitř od objektu směrem ke středu rotace, nazývaný dostředivé zrychlení.
V každé dané situaci mohou být nejužitečnější souřadnice určeny omezením pohybu nebo geometrickou povahou síly, která pohyb způsobuje nebo ovlivňuje. Pro popis pohybu korálku, který je nucen pohybovat se po kruhové obruči, tak nejužitečnější souřadnicí může být jeho úhel na obruči. Podobně pro popis pohybu částice, na kterou působí centrální síla, mohou být nejužitečnějšími souřadnicemi polární souřadnice.
Pevné pravoúhlé souřadnice
V tomto souřadnicovém systému jsou vektory vyjádřeny jako součet vektorů ve směru x, y a z z neotáčejícího původu. Obvykle i, j, k jsou jednotkové vektory ve směru x, y a z.
Polohový vektor, r (nebo s), vektor rychlosti, v, a vektor zrychlení, a se vyjádří pomocí pravoúhlých souřadnic následujícím způsobem:
Dvourozměrný otočný vztažný rám
Tento souřadnicový systém vyjadřuje pouze rovinný pohyb. Je založen na třech ortogonálních jednotkových vektorech: vektoru i a vektoru j, které tvoří základ pro rovinu, v níž se nacházejí objekty, o nichž uvažujeme, a k o nichž dochází k rotaci. Na rozdíl od pravoúhlých souřadnic, které se měří vzhledem k původu, který je pevný a neotáčí se, původ těchto souřadnic se může otáčet a překládat – často po částici na zkoumaném tělese.
Deriváty jednotkových vektorů
Polohu, rychlost a akcelerační vektory daného bodu lze vyjádřit pomocí těchto souřadnicových systémů, ale musíme být trochu opatrnější než u pevných vztažných rámců. Vzhledem k tomu, že se vztažný rám otáčí, otáčejí se i jednotkové vektory a tuto rotaci je třeba vzít v úvahu při derivaci kteréhokoli z těchto vektorů. Pokud se souřadnicový rám otáčí úhlovou rychlostí ω ve směru proti směru hodinových ručiček (tedy Ω = ω k při použití pravidla pravé ruky), pak derivace jednotkových vektorů jsou následující:
Poloha, rychlost a zrychlení
Vzhledem k těmto identitám můžeme nyní přijít na to, jak pomocí tohoto referenčního rámce reprezentovat polohu, rychlost a akcelerační vektory částice.
Stanovisko je jednoznačné:
Je to jen vzdálenost od počátku ve směru každého z jednotkových vektorů.
Rychlost je časová derivace polohy:
Podle pravidla součinu je to:
Která z identit výše víme, že je:
kde vrel je rychlost částice vzhledem k rotujícímu souřadnicovému systému.
První až čtvrtá derivace pozice
Zrychlení je časová derivace rychlosti.
Vezměme si část. má dvě části chceme najít derivaci: relativní změna v rychlosti (), a změna v souřadnicovém rámu
Dále zvažte . Použití řetězového pravidla:
Objekt, který se kutálí po povrchu, aniž by uklouzl, se řídí podmínkou, že rychlost jeho těžiště je rovna příčnému součinu jeho úhlové rychlosti s vektorem z bodu dotyku do těžiště,
V případě objektu, který se nenakloní ani neotočí, se to redukuje na v = R ω.
To je případ, kdy jsou tělesa spojena nějakým kabelem, který zůstává v napětí a nemůže měnit délku. Omezení je takové, že součet všech složek kabelu je celková délka a podle toho je časová derivace tohoto součtu nulová. Viz Kelvin a Tait a Fogiel. Dynamickým problémem tohoto typu je kyvadlo. Jiným příkladem je buben otočený působením gravitace na padající závaží připevněné k okraji neroztažitelným kabelem. Rovnovážným problémem (ne kinematickým) tohoto typu je řetězec.