Úvod do…
Matematická formulace…
Schrödingerova rovnice
Pauliho rovnice
Kleinova-Gordonova rovnice
Diracova rovnice
Kvantová teorie pole
Kvantová elektrodynamika
Kvantová chromodynamika Kvantová gravitace
Feynmanův diagram
V matematické fyzice a kvantové mechanice je kvantová logika operátorský algebraický systém pro konstrukci a manipulaci s logickými kombinacemi kvantově mechanických dějů. Lze ji považovat za určitý druh výrokové logiky vhodný pro pochopení zdánlivých anomálií týkajících se kvantového měření, zejména těch, které se týkají složení měřicích operací komplementárních proměnných. Tato výzkumná oblast a její název vznikly v roce 1936 v práci Garretta Birkhoffa a Johna von Neumanna, kteří se pokusili sladit některé zdánlivé nesrovnalosti klasické booleovské logiky s fakty týkajícími se měření a pozorování v kvantové mechanice.
Kvantová logika byla navržena jako správná logika pro výrokovou dedukci obecně, především filozofem Hilary Putnamem, alespoň v jednom bodě jeho kariéry. Tato práce byla důležitou ingrediencí Putnamovy práce Is Logic Empirical? ve které analyzoval epistemologický stav pravidel výrokové logiky. Putnam připisuje myšlenku, že anomálie spojené s kvantovými měřeními mají původ v anomáliích v samotné logice fyziky fyzikovi Davidu Finkelsteinovi. Je však třeba poznamenat, že tato myšlenka existovala již nějakou dobu a byla oživena o několik let dříve prací George Mackeyho na skupinových reprezentacích a symetrii.
Tato logika má některé neobvyklé vlastnosti; například distributivní zákon výrokové logiky,
Obvyklejší názor týkající se kvantové logiky je však ten, že poskytuje formalismus pro související pozorovatelné veličiny, filtry a stavy pro přípravu systému. V tomto názoru se přístup kvantové logiky více podobá C*-algebraickému přístupu ke kvantové mechanice; ve skutečnosti s některými drobnými technickými předpoklady jím může být podřazen. Podobnosti formalismu kvantové logiky se systémem deduktivní logiky jsou považovány spíše za kuriozitu než za fakt zásadního filosofického významu.
Ve svém klasickém pojednání Matematické základy kvantové mechaniky von Neumann poznamenal, že projekce na Hilbertův prostor mohou být vnímány jako tvrzení o fyzikálních pozorovatelnách. Soubor principů pro manipulaci s těmito kvantovými propozicemi byl von Neumannem a Birkhoffem nazván kvantovou logikou. Ve své knize (nazývané také Matematické základy kvantové mechaniky) se Mackey pokusil poskytnout sadu axiomů pro tento výrokový systém jako pravoúhle doplněnou mřížku. Mackey viděl prvky této sady jako potenciální otázky ano nebo ne, které by pozorovatel mohl klást o stavu fyzikálního systému, otázky, které by byly vyřešeny nějakým měřením. Navíc Mackey definoval fyzikální pozorovatelný z hlediska těchto základních otázek. Mackeyho axiom systém je poněkud neuspokojivý, protože předpokládá, že částečně uspořádaná sada je ve skutečnosti dána jako pravoúhle doplněná uzavřená subprostorová mřížka oddělitelného Hilbertova prostoru. Piron, Ludwig a další se pokusili dát axiomatizace, které nevyžadují tak explicitní vztahy k mřížce subprostorů.
Zbytek následujícího článku předpokládá, že čtenář je obeznámen se spektrální teorií self-adjoint operátory na Hilbertův prostor. Nicméně, hlavní myšlenky lze pochopit pomocí konečných-dimenzionální spektrální věta.
Projekce jako návrhy
Takzvané Hamiltonovské formulace klasické mechaniky mají tři složky: stavy, pozorovatelné a dynamiku. V nejjednodušším případě, kdy se jediná částice pohybuje v R3, je stavový prostor pozičně-hybnostní prostor R6. Zde pouze poznamenáme, že pozorovatelná je nějaká reálně oceněná funkce f na stavovém prostoru. Příklady pozorovatelných jsou pozice, hybnost nebo energie částice. U klasických systémů se hodnota f(x), tedy hodnota f pro nějaký konkrétní stav systému x, získává postupem měření f. Návrhy týkající se klasického systému jsou generovány ze základních tvrzení tvaru
Z této charakteristiky tvrzení v klasických systémech snadno vyplývá, že odpovídající logika je totožná s logikou některé boolovské algebry podmnožin stavového prostoru. Logikou v tomto kontextu myslíme pravidla, která se týkají množinových operací a uspořádaných vztahů, jako jsou de Morganovy zákony. Ta jsou analogická s pravidly vztahujícími se k boolovským spojkám a materiálovým implikacím v klasické výrokové logice. Z technických důvodů budeme také předpokládat, že algebra podmnožin stavového prostoru je algebra všech borelovských množin. Množina tvrzení je uspořádána přirozeným uspořádáním množin a má doplňkovou operaci. Z hlediska pozorovatelných je doplňkem tvrzení {f ≥ a} hodnota {f < a}.
Tyto poznámky shrnujeme následovně:
V Hilbertově prostorové formulaci kvantové mechaniky, jak ji prezentoval von Neumann, je fyzikálně pozorovatelný reprezentován nějakým (možná neomezeným) hustě definovaným sebe-sousedícím operátorem A na Hilbertově prostoru H. A má spektrální rozklad, což je projekcí oceněná míra E definovaná na Borelově podmnožině R. Zejména pro jakoukoliv ohraničenou borelovskou funkci f platí následující rovnice:
V případě, že f je indikátorová funkce intervalu [a, b], operátor f(A) je self-adjoint projekce, a může být interpretován jako kvantový analog klasického tvrzení
Výroková mřížka kvantově mechanického systému
To naznačuje následující kvantovou mechanickou náhradu za ortodontovanou mřížku propozic v klasické mechanice. To je v podstatě Mackeyho Axiom VII:
Q je také sekvenčně kompletní: každá dvojitá disjunktní posloupnost{Vi}i prvků Q má nejmenší horní mez. Zde disjunkce W1 a W2 znamená, že W2 je podprostorem W1⊥. Nejmenší horní mez {Vi}i je uzavřený vnitřní přímý součet.
Od nynějška identifikujeme prvky Q se samostatně přiléhajícími projekcemi na Hilbertův prostor H.
Struktura Q okamžitě ukazuje na rozdíl s parciální pořadí struktury klasické propozice systému. V klasickém případě,
vzhledem k propozice p, rovnice
mají přesně jedno řešení, a to množina-teoretický doplněk p. V těchto rovnic I odkazuje na atomový návrh, který je identicky pravdivý a 0 atomový návrh, který je identicky nepravdivý. V případě mřížky projekcí existuje nekonečně mnoho řešení výše uvedených rovnic.
Po těchto předběžných poznámkách vše otočíme a pokusíme se definovat pozorovatelné jevy v rámci projekční mřížky a pomocí této definice stanovit korespondenci mezi self-adjoint operátory a pozorovatelnými jevy: A Mackey pozorovatelný je spočetně aditivní homomorfismus z pravoúhle komplementované mřížky borelovských podskupin R až Q. Chcete-li říci, že mapování φ je spočetně aditivní homomorfismus znamená, že pro jakoukoli posloupnost {Si}i párově disjunktních borelovských podskupin R, {φ(Si)}i jsou párově ortogonální projekce a
Věta. Existuje bijektivní korespondence mezi Mackeyho pozorovatelnami a hustě definovanými samoohraničujícími operátory na H.
Jedná se o obsah spektrální věty, jak je uvedeno z hlediska spektrálních měr.
Představte si forenzní laboratoř, která má nějaký přístroj na měření rychlosti kulky vystřelené z pistole. Za pečlivě řízených podmínek
teploty, vlhkosti, tlaku a tak dále se z téže pistole střílí opakovaně a měří se rychlost. Tím vzniká určité rozložení rychlostí. I když nezískáme úplně stejnou hodnotu pro každé jednotlivé měření, pro každý shluk měření bychom očekávali, že experiment povede ke stejnému rozložení rychlostí. Zejména můžeme očekávat přiřazení rozdělení pravděpodobnosti k předpokladům jako {a ≤ rychlost ≤ b}.
To přirozeně vede k návrhu, že za kontrolovaných podmínek přípravy lze měření klasického systému popsat měřítkem pravděpodobnosti na stavovém prostoru. Stejná statistická struktura je přítomna také v kvantové mechanice.
Kvantová míra pravděpodobnosti je funkce P definovaná na Q s hodnotami v [0,1] tak, že P(0)=0, P(I)=1 a pokud {Ei}i je posloupnost párových ortogonálních prvků Q pak
Následující vysoce netriviální věta je způsobena A. Gleason:
Věta. Předpokládejme, že H je oddělitelný Hilbertův prostor komplexního rozměru alespoň 3. Pak pro jakoukoli kvantovou míru pravděpodobnosti na Q existuje jedinečná trasovací třída operátor S taková, že
pro každý samostatně přiléhající průmět E.
Operátor S je nutně nezáporný (to znamená, že všechna vlastní čísla jsou nezáporná) a má stopovou hodnotu 1. Takovému operátorovi se často říká operátor hustoty.
Fyzikové běžně považují operátor hustoty za reprezentovaný (možná nekonečnou) maticí hustoty vzhledem k nějaké ortonormální bázi.
Pro více informací o statistice kvantových systémů viz kvantová statistická mechanika.
Automobilismus Q je bijektivní mapování α:Q → Q, které zachovává pravokomplementovanou strukturu Q, tedy:
pro libovolnou posloupnost {Ei}i párových ortogonálních self-adjointových projekcí. Všimněte si, že tato vlastnost implikuje monotónnost α. Jestliže P je kvantová míra pravděpodobnosti na Q, pak E → α(E) je také kvantová míra pravděpodobnosti na Q. Podle výše citované Gleasonovy věty charakterizující kvantovou míru pravděpodobnosti každý automorfismus α indukuje mapování α* na operátorech hustoty podle následujícího vzorce:
Mapování α* je bijektivní a zachovává konvexní kombinace operátorů hustoty. To znamená
kdykoli 1 = r1 + r2 a r1, r2 jsou nezáporná reálná čísla. Nyní použijeme větu Richarda Kadisona:
Věta. Předpokládejme, že β je bijektivní mapa od operátorů hustoty k operátorům hustoty, která zachovává konvexnost. Pak je operátor U na Hilbertově prostoru, který je buď lineární nebo konjugovaný-lineární, zachovává vnitřní součin a je takový, že
pro každého operátora hustoty S. V prvním případě říkáme U je unitární, ve druhém případě U je anti-unitární.
Poznámka. Tato poznámka je zahrnuta pouze pro technickou přesnost a neměla by se týkat většiny čtenářů. Výše citovaný výsledek není přímo uveden v Kadisonově článku, ale lze ho zredukovat tak, že nejprve poznamenáme, že β se vztahuje k pozitivní trasovací konzervující mapě na operátorech trasovací třídy, poté použijeme dualitu a nakonec použijeme výsledek Kadisonova článku.
Operátor U není zcela unikátní; pokud r je komplexní skalár modulu 1, pak r U bude unitární nebo anti-unitární, pokud U je a bude implementovat stejný automorfismus. Ve skutečnosti je to jediná možná nejednoznačnost.
Z toho vyplývá, že automorfizmy Q jsou v bijektivní korespondenci s unitárními nebo anti-unitárními operátory modulo násobením skaláry modulu 1. Navíc můžeme považovat automorfizmy za dva ekvivalentní způsoby: jako operující na stavech (reprezentované jako operátory hustoty) nebo jako operující na Q.
V nerelativistických fyzikálních systémech neexistuje žádná nejednoznačnost v odkazu na vývoj času, protože existuje globální časový parametr. Navíc izolovaný kvantový systém se vyvíjí deterministickým způsobem: pokud je systém ve stavu S v čase t pak v čase s> t, systém je ve stavu Fs,t(S). Navíc předpokládáme, že
Podle Kadisonovy věty existuje 1-parametrová rodina unitárních nebo anti-unitárních operátorů {Ut}t taková, že
Věta. Za výše uvedených předpokladů existuje silně spojitá 1-parametrová skupina unitárních operátorů {Ut}t taková, že výše uvedená rovnice platí.
Všimněte si, že to snadno z jedinečnosti z Kadison věta, že
kde σ(t,s) má modul 1. Nyní je druhou mocninou antiunitáře unitář, takže všechny Uty jsou unitární. Zbývající část argumentu ukazuje, že σ(t,s) může být zvoleno za 1 (změnou každého Utu skalárem modulu 1.)
Konvexní kombinace statistických stavů S1 a S2 je stav tvaru S = p2 S1 +p2 S2, kde p1, p2 jsou nezáporné a p1 + p2 =1. Vezmeme-li v úvahu statistický stav systému určený laboratorními podmínkami použitými pro jeho přípravu, lze konvexní kombinaci S považovat za stav vytvořený následujícím způsobem: hodíme zkreslenou mincí s pravděpodobností výsledku p1, p2 a v závislosti na výsledku zvolíme systém připravený na S1 nebo S2
Operátory hustoty tvoří konvexní množinu. Konexní množina operátorů hustoty má krajní body; to jsou operátory hustoty dané projekcí do jednorozměrného prostoru. Abyste viděli, že každý krajní bod je takovou projekcí, všimněte si, že spektrální větou S může být reprezentováno diagonální maticí; protože S je nezáporné všechny vstupy jsou nezáporné a protože S má křivku 1, musí úhlopříčkové vstupy dávat dohromady 1. Pokud se stane, že diagonální matice má více než jeden nenulový vstup, je jasné, že to můžeme vyjádřit jako konvexní kombinaci dalších operátorů hustoty.
Extrémní body množiny operátorů hustoty se nazývají čisté stavy. Pokud S je průmět na 1-rozměrný prostor generovaný vektorem ψ normy 1 pak
pro jakékoliv E v Q. Ve fyzikálním žargonu, pokud
Čisté stavy lze tedy identifikovat s paprsky v Hilbertově prostoru H.
Představme si kvantově mechanický systém s mřížkou Q, který je v nějakém statistickém stavu daném operátorem hustoty S. To v podstatě znamená soubor systémů specifikovaných opakovatelným laboratorním procesem přípravy. Výsledkem shluku měření určených k určení pravdivostní hodnoty tvrzení E je stejně jako v klasickém případě rozdělení pravděpodobnosti pravdivostních hodnot T a F. Řekněme, že pravděpodobnosti jsou p pro T a q = 1 – p pro F. Podle předchozího oddílu p = Tr(S E) a q = Tr(S (I-E)).
(Ponecháváme na čtenáři, jak se zachází s degenerovanými případy, v nichž jmenovatele mohou být 0.) Nyní vytváříme konvexní kombinaci těchto dvou ansámblů pomocí relativních frekvencí p a q. Získáváme tak výsledek, že proces měření aplikovaný na statistický ansámbl ve stavu S dává jiný ansámbl ve statistickém stavu:
Vidíme, že čistý ansámbl se po měření stává smíšeným ansámblem. Měření, jak je popsáno výše, je zvláštním případem kvantových operací.
Omezení kvantové logiky
Kvantová logika poskytuje uspokojivý základ pro teorii reverzibilních kvantových procesů. Příkladem takových procesů jsou kovarianční transformace vztahující se ke dvěma referenčním rámcům, jako je změna časového parametru nebo transformace speciální relativity. Kvantová logika také poskytuje uspokojivé porozumění maticím hustoty. Kvantová logika může být roztažena tak, aby zahrnovala některé druhy měřicích procesů odpovídajících odpovědím na ano-ne otázky o stavu kvantového systému. Nicméně pro obecnější druhy měřicích operací (tedy kvantové operace) je nutná úplnější teorie filtračních procesů. Takový přístup poskytuje formalismus konzistentních dějin.
V každém případě musí být tyto formalismy kvantové logiky zobecněny, aby se vypořádaly se supergeometrií (která je potřebná pro zpracování Fermiho polí) a nekomutativní geometrií (která je potřebná v teorii strun a teorii kvantové gravitace). Obě tyto teorie používají částečnou algebru s
integrálem nebo „stopou“. Prvky částečné algebry nejsou pozorovatelné; místo toho „stopa“
přináší „zelené funkce“, které generují rozptylové amplitudy. Jeden tak získá lokální teorii S-matice (viz D. Edwards).
Od roku 1978 škola Flato (viz F. Bayen) vyvíjela alternativu k přístupu kvantové logiky zvanou kvantování deformace (viz Weylova kvantování).