Logistická křivka, konkrétně funkce sigmoid
Logistická funkce nebo modely logistické křivky
S-křivka růstu nějaké množiny P. Počáteční fáze růstu je přibližně exponenciální; poté, jak začíná saturace, růst zpomaluje a v době splatnosti se růst zastavuje.
Logistická funkce je definována matematickým vzorcem:
pro reálné parametry a, m, n a . Tyto funkce nacházejí uplatnění v řadě oborů, včetně biologie a ekonomie.
Důležitá aplikace logistické funkce je v Raschově modelu, který se používá v teorii odezvy položek. Raschovův model zejména tvoří základ pro odhad maximální pravděpodobnosti umístění objektů nebo osob v kontinuu, založený na souborech kategorických dat, například schopností osob v kontinuu, založených na odpovědích, které byly zařazeny do kategorií správné a nesprávné.
Typickou aplikací logistické rovnice je společný model populačního růstu, který říká, že:
Nechat P reprezentovat velikost populace (N je často používán v ekologii místo) a t reprezentovat čas, tento model je formalizován diferenciální rovnice:
kde konstanta definuje rychlost růstu a je nosnost. V ekologii jsou druhy někdy označovány jako r-stratég nebo K-stratég v závislosti na selektivních procesech, které formovaly jejich životní strategie. Řešení rovnice (s tím, že počáteční populace) je
Speciální případ logistické funkce s a = 1, m = 0, n = 1, τ = 1, a to
se nazývá sigmoidová funkce nebo sigmoidova křivka. Název je dán sigmoidovým tvarem jeho grafu. Tato funkce se také nazývá standardní logistická funkce a často se s ní setkáváme v mnoha technických oblastech, zejména v umělých neuronových sítích jako přenosová funkce, pravděpodobnost, statistika, biomatematika, matematická psychologie a ekonomie.
Vlastnosti funkce sigmoid
(Standardní) sigmoidová funkce je řešením nelineární diferenciální rovnice prvního řádu
s hraniční podmínkou P(0) = 1/2. Rovnice (2) je souvislou verzí logistické mapy.
Sigmoidova křivka ukazuje časný exponenciální růst pro záporné t, který zpomaluje na lineární růst sklonu 1/4 poblíž t = 0, pak se blíží y = 1 s exponenciálně se snižující mezerou.
Logistická funkce je inverzní k přirozené logitové funkci, a tak může být použita pro převod logaritmu pravděpodobnosti na pravděpodobnost; převod z logaritmického poměru pravděpodobnosti dvou alternativ má také podobu sigmoidní křivky.
Verhulstova rovnice (1) byla poprvé publikována Pierrem F. Verhulstem v roce 1838 poté, co si přečetl esej Thomase Malthuse o principu populace.
Verhulst odvodil svou logistickou rovnici k popisu samolimitujícího růstu biologické populace. Rovnice je také někdy nazývána Verhulstova-Perlova rovnice po jejím znovuobjevení v roce 1920. Alfred J. Lotka odvodil rovnici znovu v roce 1925 a nazval ji zákonem populačního růstu.