Důkaz je v matematice ukázka toho, že za předpokladu určitých axiomů je nějaké tvrzení nutně pravdivé. Předpokládané axiomy jsou ZFC, pokud není uvedeno jinak.
Důkazy používají logiku, ale obvykle zahrnují určité množství přirozeného jazyka, který samozřejmě připouští určitou nejednoznačnost. Ve skutečnosti lze drtivou většinu důkazů v písemné matematice považovat za aplikace neformální logiky. Čistě formální důkazy jsou považovány v teorii důkazů. Rozlišení mezi formálními a neformálními důkazy vedlo k velkému zkoumání současné a historické matematické praxe, kvaziempirismu v matematice a takzvané lidové matematiky (v obou smyslech tohoto pojmu). Filozofie matematiky se zabývá rolí jazyka a logiky v důkazech a matematiky jako jazyka.
Bez ohledu na něčí postoj k formalismu je výsledkem, který je prokázán jako pravdivý, věta; ve zcela formálním důkazu by to byl konečný řádek a úplný důkaz ukazuje, jak to vyplývá pouze z axiomů. Jakmile je věta prokázána, může být použita jako základ pro prokázání dalších tvrzení. Takzvané základy matematiky jsou ta tvrzení, která člověk nemůže nebo nemusí dokázat. Ta byla kdysi primárním studiem filozofů matematiky. Dnes se zaměřujeme spíše na praxi, tj. přijatelné techniky.
Některé běžné důkazní techniky jsou:
Pravděpodobnostní důkaz by měl znamenat důkaz, ve kterém je prokázáno, že příklad existuje metodami teorie pravděpodobnosti – ne argument, že věta je ‚pravděpodobně‘ pravdivá. Druhý typ uvažování lze nazvat ‚hodnověrnostní argument‘; v případě Collatzovy domněnky je jasné, jak daleko je to od pravého důkazu. Pravděpodobnostní důkaz je jedním z mnoha způsobů, jak prokázat existenci vět, kromě důkazu konstrukcí.
Kombinatorický důkaz určuje rovnocennost různých výrazů tím, že ukazuje, že počítají stejný objekt různými způsoby.
Obvykle se používá korespondence jedna ku jedné, aby se ukázalo, že oba výklady dávají stejný výsledek.
Pokud se snažíme dokázat například „Některé X vyhovuje f(X)“, existence nebo nekonstruktivní důkaz prokáže, že existuje X, které vyhovuje f(X), ale nevysvětlí, jak bude takové X získáno. Konstruktivní důkaz to naopak udělá.
Tvrzení, které je považováno za pravdivé, ale zatím nebylo prokázáno, je známo jako domněnka.
Někdy je možné dokázat, že určité tvrzení nemůže být prokázáno z dané množiny axiomů; viz například hypotéza kontinua. Ve většině axiomových systémů existují tvrzení, která nemohou být prokázána ani vyvrácena; viz Gödelova věta o neúplnosti.