V logice se nezbytnost a dostatečnost vztahují k implicitním vztahům mezi výroky. Tvrzení, že jeden výrok je nutnou a dostatečnou podmínkou jiného, znamená, že první výrok je pravdivý tehdy a jen tehdy, je-li pravdivý druhý výrok.
Pravdivá nezbytná podmínka v podmíněném prohlášení dělá prohlášení pravdivým. Z formálního hlediska je následné N nutnou podmínkou pro předchozí S, v podmínečném tvrzení „N když S“, „N je implikováno S“ nebo „N S“. V běžných slovech bychom také řekli „N je slabší než S“ nebo „S nemůže nastat bez N“. Například je nutné být pojmenován, být nazýván „Sokrates“.
Pravdivá dostatečná podmínka v podmínečném výroku spojuje pravdivost výroku s jeho následným. Formálně je předcházející S dostatečná podmínka pro následné N, v podmínečném výroku „jestliže S, pak N“, „S znamená N“, nebo S N. Běžnými slovy bychom také řekli „S je silnější než N“ nebo „S zaručuje N“. Například „Sokrates“ stačí pro jméno.
Slunce nad obzorem je nutnou podmínkou přímého slunečního svitu; není to však dostatečná podmínka, protože stín může vrhat i něco jiného, např. v případě zatmění.
Tvrzení, že Q je nezbytné pro P, je hovorově ekvivalentní „P nemůže být pravdivé, pokud Q není pravdivé“, nebo „pokud Q je nepravdivé, pak P je nepravdivé“. V kontradikci je to totéž jako „kdykoli P je pravdivé, je pravdivé i Q“. Logický vztah mezi nimi je vyjádřen jako „Jestliže P pak Q“ a označen jako „P Q“ (P znamená Q), a může být také vyjádřen jako kterýkoli z „Q, jestliže P“, „Q kdykoliv P“; a „Q když P“. Často se najde, například v matematické próze, několik nezbytných podmínek, které dohromady tvoří dostatečnou podmínku, jak ukazuje příklad 5.
To, že vlak jede podle jízdního řádu, je často dostačující podmínkou pro včasný příjezd (pokud vlak přijede včas a jeden do něj nastoupí, jeden pravděpodobně přijede včas); není to však vždy nezbytná podmínka, protože existují i jiné způsoby cestování (pokud vlak nepřijede včas, jeden může přesto dorazit včas do svého cíle jiným dopravním prostředkem).
Říct, že P je pro Q dostačující, znamená říci, že samo o sobě vědět, že P je pravdivé, je dostatečným důvodem k závěru, že Q je pravdivé. (Zároveň to znamená, že vědět, že P není pravdivé, samo o sobě neposkytuje dostatečný důvod k závěru, že Q také není pravdivé.) Logický vztah je vyjádřen jako „Jestliže P pak Q“ nebo „P Q“ a může být také vyjádřen jako „P znamená Q“. Několik dostačujících podmínek může dohromady tvořit jedinou nezbytnou podmínku, jak je znázorněno v příkladu 5.
Vztah mezi nutností a dostatkem
Abychom uspokojili S, musíte být v N. Když jsme v S, víme, že jsme v N.
Podmínka může být buď nezbytná, nebo dostačující, aniž by byla ta druhá. Například být savcem (N) je nezbytné, ale ne dostačující, aby byl člověk (S), a že číslo x je racionální (S) je dostačující, ale není nutné, aby x bylo reálné číslo (N) (protože existují reálná čísla, která nejsou racionální).
Podmínka může být nezbytná i dostačující. Například v současnosti je „dnes je 4. července“ nezbytnou a dostačující podmínkou pro „dnes je ve Spojených státech Den nezávislosti“. Podobně nezbytnou a dostačující podmínkou pro invertibilitu matice M je, že M má nenulový determinant.
Matematicky vzato jsou nezbytnost a dostatečnost vůči sobě duální. Pro všechny výroky S a N je tvrzení, že „N je nezbytné pro S“ ekvivalentní tvrzení, že „S je dostatečné pro N“. Dalším aspektem této duality je to, že, jak je znázorněno výše, konjunkce (za použití „a“) nezbytných podmínek mohou dosáhnout dostatečnosti, zatímco disjunkce (za použití „nebo“) dostatečných podmínek mohou dosáhnout nezbytnosti. Pro třetí aspekt identifikujte každý matematický predikát N množinou T(N) objektů, událostí nebo výroků, pro které platí N; pak tvrzení nezbytnosti N pro S je ekvivalentní tvrzení, že T(N) je nadmnožinou T(S), zatímco tvrzení dostatečnosti S pro N je ekvivalentní tvrzení, že T(S) je podmnožinou T(N).
Souběžná nutnost a dostatečnost
Říct, že P je nezbytné a dostačující pro Q, znamená říci dvě věci, že P je nezbytné pro Q a že P je dostačující pro Q. Samozřejmě, lze to místo toho chápat tak, že řekneme dvě odlišné věci, a to, že každé z P a Q je nezbytné pro druhé. A to může být chápáno v třetím rovnocenným způsobem: jako říká, že každý je dostačující pro druhého. Každý z těchto případů lze shrnout výrokem „P tehdy a jen tehdy, když Q“, který je označován jako P Q.
Například v teorii grafů se graf G nazývá bipartitní, pokud je možné přiřadit ke každému z jeho vrcholů barvu černou nebo bílou takovým způsobem, že každý okraj G má jeden koncový bod každé barvy. A pro každý graf, který má být bipartitní, je nutnou a dostatečnou podmínkou, že neobsahuje žádné liché-délky cyklů. Tak, zjištění, zda graf má nějaké liché cykly říká, zda je bipartitní a naopak. Filozof
by mohl charakterizovat tento stav takto: „I když pojmy bipartita a absence lichých cyklů se liší intenzitou, mají identické prodloužení.