Je také objevitelem Laplaceovy rovnice. Ačkoli je Laplaceova transformace pojmenována na počest Laplaceova, který transformaci použil ve své práci na teorii pravděpodobnosti, transformaci objevil původně Leonhard Euler, plodný švýcarský matematik z osmnáctého století. Laplaceova transformace se objevuje ve všech oborech matematické fyziky – v oboru, v němž se ujal vedoucí role při formování. Laplaceův diferenciální operátor, na nějž se hodně spoléhalo v aplikované matematice, je rovněž pojmenován po něm.
Pierre Simon Laplaceova byl synem malého chalupáře nebo snad zemědělsky-dělník, a vděčil za své vzdělání zájmu vzrušený v některých bohatých sousedů o své schopnosti a zapojení přítomnost. Zdálo by se, od žáka se stal uvaděč ve škole v Beaumontu, ale poté, co obstaral dopis na úvod do d’Alemberta, šel do Paříže, aby tlačí své jmění. Papír o zásadách mechaniky vzrušený D’Alemberta zájem, a na jeho doporučení místo ve vojenské škole byla nabídnuta Laplaceova.
Zajištěné na kompetence, Laplaceova nyní vrhl se do původního výzkumu, a v příštích sedmnácti letech, 1771-1787, on vyrobené hodně z jeho původní práce v astronomii. To začalo s pamětí, číst před francouzskou akademii v roce 1773, v němž ukázal, že planetární pohyby byly stabilní, a nesl důkaz, pokud jde o kostky na výstřednosti a sklony. To bylo následováno několika dokumentů o bodech v integrální kalkul, konečných rozdílů, diferenciální rovnice, a astronomie.
Laplaceova měl široké znalosti všech věd a dominoval všechny diskuse v akademii. Zcela jedinečně pro matematické zázračné jeho dovednosti, Laplaceova považovat matematiku jako nic samo o sobě, ale nástroj, který má být povolán při vyšetřování vědecké nebo praktické šetření.
Laplaceova strávil většinu svého života prací na matematické astronomii, která vyvrcholila jeho mistrovským dílem o důkazu dynamické stability sluneční soustavy s předpokladem, že se skládá z kolekce tuhých těles pohybujících se ve vakuu. Nezávisle formuloval mlhovinovou hypotézu a byl jedním z prvních vědců, kteří postulovali existenci černých děr a pojem gravitačního kolapsu.
Zatímco prováděl mnoho výzkumů ve fyzice, dalším hlavním tématem jeho životního snažení byla teorie pravděpodobnosti. Ve své esejské filosofii sur les probabilités Laplace stanovil matematický systém induktivního uvažování založený na pravděpodobnosti, který bychom dnes uznávali jako bayesovský. Jedním z dobře známých vzorců vyplývajících z jeho systému je pravidlo následnictví. Předpokládejme, že nějaký proces má pouze dva možné výsledky, označené jako „úspěch“ a „neúspěch“. Za předpokladu, že o relativní pravděpodobnosti výsledků je a priori známo málo nebo vůbec nic, Laplace odvodil vzorec pro pravděpodobnost, že příští proces bude úspěšný.
kde s je počet dříve pozorovaných úspěchů a n je celkový počet pozorovaných pokusů. Používá se stále jako odhad pravděpodobnosti události, pokud známe prostor událostí, ale máme jen malý počet vzorků.
Pravidlo nástupnictví bylo předmětem velké kritiky, částečně kvůli příkladu, který se Laplaceova rozhodla ilustrovat. Vypočítal, že pravděpodobnost, že zítra vyjde slunce, vzhledem k tomu, že se nikdy nepodařilo v minulosti, byla
kde d je počet, kolikrát Slunce vyšlo v minulosti. Tento výsledek byl posměšně posměšný jako absurdní, a někteří autoři došli k závěru, že všechny aplikace Pravidla následnictví jsou absurdní ve svém důsledku. Nicméně Laplace si byl plně vědom absurdity výsledku; hned po příkladu napsal: „Ale toto číslo [tj. pravděpodobnost, že Slunce vyjde zítra] je daleko větší pro toho, kdo vidí v souhrnu jevů princip regulující dny a roční období, uvědomuje si, že nic v současné době nemůže zastavit jeho průběh.“
Laplaceova silně věřil v kauzální determinismus, který je vyjádřen v následujícím citátu z úvodu k Essai:
Tento intelekt je často označován jako Laplaceův démon Všimněte si, že popis hypotetického intelektu popsaného výše Laplaceovým jako démon nepochází od Laplaceova, ale od pozdějších životopisců: Laplaceova viděl sám sebe jako vědce, který doufal, že lidstvo pokročí v lepším vědeckém chápání světa, který, pokud a až bude nakonec dokončen, bude stále potřebovat ohromnou výpočetní sílu, aby to všechno spočítal v jediném okamžiku. Zatímco Laplaceova viděl především praktické problémy pro lidstvo, aby dosáhlo této konečné fáze poznání a počítání, pozdější interpretace kvantové mechaniky, které byly přijaty filozofy obhajujícími existenci svobodné vůle, také ponechávají teoretickou možnost takového „intelektu“ zpochybněnou.
Nedávno byl navržen limit výpočetní síly vesmíru, tj. schopnost Laplaceova démona zpracovat nekonečné množství informací. Limit je založen na maximální entropii vesmíru, rychlosti světla a minimálním množství času potřebném k přesunu informací přes Planckovu délku, a číslo se ukazuje jako 2130 bitů. Tudíž nic, co vyžaduje více než toto množství dat, nemůže být vypočteno v množství času, které zatím ve vesmíru uplynulo. (Skutečná teorie všeho by samozřejmě mohla najít výjimku z tohoto limitu.)
Laplace šel ve stavu, kdy prosil Napoleona, aby přijal kopii jeho díla, a následující popis rozhovoru je dobře ověřený a tak charakteristický pro všechny zúčastněné strany, že ho cituji v plném znění. Někdo řekl Napoleonovi, že kniha neobsahuje žádnou zmínku o jménu Boha; Napoleon, který rád kladl trapné otázky, ji přijal s poznámkou: „M. Laplaceová, řekli mi, že jste napsala tuto velkou knihu o systému vesmíru, a nikdy jste se ani nezmínila o jeho Stvořiteli.“ Laplace, který, ač nejohebnější z politiků, byl ve všech bodech své filozofie škrobený jako mučedník, se napřímil a bez obalu odpověděl: „Je n’avais pas besoin de cette hypothèse-là.“ (Nemusel jsem takový předpoklad vyslovovat). Napoleon, velmi pobavený, řekl tuto odpověď Lagrangeovi, který zvolal: „Ah! c’est une belle hypothèse; ça explique beaucoup de choses“ (Ach! to je krásný předpoklad; vysvětluje mnoho věcí). Laplace pak prohlásil: „Cette hypothèse, Sire, explique en effet tout, mais ne permet de prédire rien. En tant que savant, je me dois de vous fournir des travaux permettant des prédictions“ (citováno Ianem Stewartem a Jackem Cohenem – Tato hypotéza, Sire, vysvětluje vše, ale nedovoluje nic předpovídat. Jako učenec vám musím poskytnout práce umožňující předpovědi.“). Laplace tak definoval vědu jako nástroj předpovídání.
Analytická teorie pravděpodobnosti
V roce 1812 Laplaceova vydala jeho Théorie analytique des probabilités. Teorie je uvedeno, že pouze zdravý rozum vyjádřený v matematickém jazyce. Metoda odhadu poměru počtu příznivých případů na celý počet možných případů byly uvedeny Laplaceova v dokumentu písemné v roce 1779. Spočívá v léčbě po sobě jdoucích hodnot jakékoli funkce jako koeficienty v expanzi jiné funkce s odkazem na jinou proměnnou. Druhá se proto nazývá generování funkce první. Laplaceova pak ukazuje, jak pomocí interpolace, tyto koeficienty mohou být určeny z generování funkce. Další on napadá konverzní problém, a z koeficientů najde generování funkce; to se provádí řešením rovnice v konečných rozdílů. Metoda je těžkopádný, a v důsledku zvýšeného výkonu analýzy je nyní jen zřídka používá.
Toto pojednání zahrnuje expozici z metody nejmenších čtverců, pozoruhodné svědectví Laplaceova příkaz nad procesy analýzy. Metoda nejmenších čtverců pro kombinaci četných pozorování byla dána empiricky Gauss a Legendrovy, ale čtvrtá kapitola této práce obsahuje formální důkaz o tom, na které celá teorie chyb byla od té doby založena. To bylo provedeno pouze o nejsložitější analýzu speciálně vynalezené pro tento účel, ale forma, ve které je prezentována je tak skrovný a neuspokojivý, že i přes jednotnou přesnost výsledků to bylo v jednu chvíli zpochybnil, zda Laplaceova skutečně prošel obtížnou práci, kterou tak stručně a často nesprávně uvádí.
V 1819 Laplaceova zveřejnila populární úvahu o jeho práci v pravděpodobnosti. Tato kniha nese stejný vztah k Théorie des pravděpodobnosti, že Système du monde dělá na Méchanique céleste.
Mezi drobné objevy Laplaceova v čisté matematice je jeho diskuse (současně s Vandermonde) na obecné teorie determinantů v 1772; jeho důkaz, že každá rovnice na sudý stupeň musí mít alespoň jeden skutečný kvadratický faktor; jeho snížení řešení lineárních diferenciálních rovnic na určitý integrál; a jeho řešení lineární parciální diferenciální rovnice druhého řádu. Byl také první, aby zvážila obtížné problémy spojené s rovnicemi smíšených rozdílů, a prokázat, že řešení rovnice v konečných rozdílů prvního stupně a druhého řádu by mohly být vždy získány ve formě pokračující zlomek. Kromě těchto původních objevů byl stanoven, v jeho teorii pravděpodobnosti, hodnoty řady z více společných konečných integrálů, a ve stejné knize dal obecný důkaz o věta formulovaná Lagrange pro rozvoj jakékoli implicitní funkce v řadě pomocí diferenciálních koeficientů.
V teoretické fyzice je teorie kapilární přitažlivosti zásluhou Laplaceova, který přijal myšlenku prosazovanou Hauksbeem ve Filosofických transakcích z roku 1709, že jev byl způsoben silou přitažlivosti, která byla necitlivá na rozumné vzdálenosti. Část, která se zabývá působením pevné látky na kapalinu a vzájemným působením dvou kapalin, nebyla zpracována důkladně, ale nakonec byla dokončena Gaussem: Carl Neumann později doplnil několik detailů. V roce 1862 Lord Kelvin (Sir William Thomson) ukázal, že pokud se předpokládá molekulární konstituce hmoty, lze zákony kapilární přitažlivosti odvodit z Newtonova gravitačního zákona.
Laplaceova v 1816 byl první, kdo výslovně poukázat na to, proč Newton teorie vibračního pohybu dal nesprávnou hodnotu pro rychlost zvuku. Skutečná rychlost je větší, než je vypočtena Newton v důsledku tepla vyvinutého náhlým stlačení vzduchu, který zvyšuje pružnost a tedy rychlost přenášeného zvuku. Laplaceova vyšetřování v praktické fyzice byly omezeny na ty, které provádí na něm společně s Lavoisier v letech 1782 až 1784 na specifické teplo různých těles.
Laplaceova Zdá se, že považovat analýzu pouze jako prostředek k útoku na fyzické problémy, i když schopnost, s níž vynalezl nezbytné analýzy je téměř fenomenální. Tak dlouho, jak jeho výsledky byly pravdivé vzal ale jen málo problémů vysvětlit kroky, kterými dorazil na ně, nikdy studoval elegance nebo symetrie v jeho procesy, a to bylo dostatečné pro něj, pokud by mohl nějakým způsobem vyřešit konkrétní otázku byl diskutovat.