V teorii pravděpodobnosti a statistice, vzhledem ke dvěma společně distribuovaným náhodným proměnným X a Y, je podmíněné rozdělení pravděpodobnosti Y dané X pravděpodobnostním rozdělením Y, když je známo, že X je určitá hodnota; v některých případech mohou být podmíněné pravděpodobnosti vyjádřeny jako funkce obsahující nespecifikovanou hodnotu x X jako parametr. Podmíněné rozdělení kontrastuje s okrajovým rozdělením náhodné proměnné, což je její rozdělení bez odkazu na hodnotu druhé proměnné.
Je-li podmíněné rozdělení Y daného X spojité, pak je jeho funkce hustoty pravděpodobnosti známá jako funkce podmíněné hustoty. Vlastnosti podmíněného rozdělení, jako jsou momenty, jsou často označovány odpovídajícími názvy, jako je podmíněný průměr a podmíněný rozptyl.
Obecněji lze hovořit o podmíněném rozdělení podmnožiny množiny více než dvou proměnných; toto podmíněné rozdělení je podmíněno hodnotami všech zbývajících proměnných, a pokud je v podmnožině zahrnuta více než jedna proměnná, pak toto podmíněné rozdělení je podmíněné společné rozdělení zahrnutých proměnných.
U diskrétních náhodných veličin lze podmíněnou pravděpodobnostní hmotnostní funkci Y vzhledem k výskytu hodnoty x X zapsat podle její definice takto:
Vzhledem k výskytu ve jmenovateli je toto definováno pouze pro nenulové (tedy striktně kladné)
Vztah s pravděpodobnostním rozložením X dané Y je:
Podobně u spojitých náhodných veličin lze funkci podmíněné hustoty pravděpodobnosti Y vzhledem k výskytu hodnoty x z X zapsat jako
kde fX,Y(x, y) udává hustotu spoje X a Y, zatímco fX(x) udává mezní hustotu pro X. Také v tomto případě je nutné, aby .
Vztah s pravděpodobnostním rozložením X dané Y je dán:
Koncept podmíněného rozdělení spojité náhodné proměnné není tak intuitivní, jak by se mohlo zdát: Borelův paradox ukazuje, že podmíněné hustoty pravděpodobnosti funkce nemusí být invariantní v rámci transformace souřadnic.
Measure-Theoretic Formulation
Dovolit být prostor pravděpodobnosti, a – pole v , A real-oceňují náhodné proměnné (měřitelné s ohledem na Borel – pole v ). To může být prokázáno, že existuje funkce taková, že je míra pravděpodobnosti na pro každého a (téměř jistě) pro každý . Pro všechny , Funkce se nazývá podmíněné rozdělení pravděpodobnosti dané . V tomto případě,