Pravděpodobnost je způsob vyjádření poznání nebo přesvědčení, že událost nastane nebo nastala. V matematice dostal tento pojem přesný význam v teorii pravděpodobnosti, která se široce používá v takových oblastech studia, jako je matematika, statistika, finance, hazardní hry, věda a filozofie k vyvození závěrů o pravděpodobnosti potenciálních událostí a základní mechanice komplexních systémů.
Slovo pravděpodobnost nemá konzistentní přímou definici. Ve skutečnosti existuje šestnáct širokých kategorií výkladů pravděpodobnosti, jejichž stoupenci mají různé (a někdy i protichůdné) názory na základní povahu pravděpodobnosti:
Slovo pravděpodobnost se odvozuje od probity, měřítka autority svědka v právním případě v Evropě, a často koreluje s ušlechtilostí svědka. V jistém smyslu se to velmi liší od moderního významu pravděpodobnosti, který je naopak používán jako měřítko váhy empirických důkazů a vychází z induktivního uvažování a statistické dedukce.[2][3]
Vědecké studium pravděpodobnosti je moderní vývoj. Hazardní hry ukazují, že existuje zájem o kvantifikaci myšlenek pravděpodobnosti po tisíciletí, ale přesné matematické popisy použití v těchto problémech vznikly až mnohem později.
Podle Richarda Jeffreyho „Před polovinou sedmnáctého století termín ‚pravděpodobný‘ (latinsky probabilis) znamenal schvalovatelný a byl v tomto smyslu používán jednoznačně na názor a na jednání. Pravděpodobný čin nebo názor byl takový, jaký by rozumní lidé za daných okolností podnikli nebo zastávali.“[4] Nicméně v právních kontextech se zejména termín ‚pravděpodobný‘ mohl vztahovat i na tvrzení, pro něž existovaly dobré důkazy.[5]
Odhlédneme-li od některých elementárních úvah Girolama Cardana v 16. století, doktrína pravděpodobnosti se datuje do korespondence Pierra de Fermata a Blaise Pascala (1654). Christiaan Huygens (1657) poskytl nejstarší známé vědecké zpracování tohoto tématu. Jakob Bernoulli v knize Ars Conjectandi (posmrtně, 1713) a Abraham de Moivre v knize Doctrine of Chances (1718) pojednávali o tomto tématu jako o oboru matematiky. Viz Ian Hacking v knize Vznik pravděpodobnosti a James Franklin v knize The Science of Conjecture for histories of the early development of the very concept of mathematical probability.
Teorii chyb lze vysledovat až k Rogeru Cotesovi Opera Miscellanea (posmrtně, 1722), ale paměti připravené Thomasem Simpsonem v roce 1755 (tištěné 1756) poprvé aplikovaly teorii na diskusi o chybách pozorování. Repint (1757) těchto pamětí stanovuje axiomy, že kladné a záporné chyby jsou stejně pravděpodobné a že existují určité přiřaditelné meze, do kterých mohou všechny chyby spadat; kontinuální chyby jsou diskutovány a je uvedena křivka pravděpodobnosti.
Pierre-Simon Laplaceova (1774) učinil první pokus odvodit pravidlo pro kombinaci pozorování z principů teorie pravděpodobnosti. Ten představoval zákon pravděpodobnosti chyb o křivku, je jakákoli chyba a její pravděpodobnost, a stanoví tři vlastnosti této křivky:
Dal také (1781) vzorec pro právo na zařízení chyby (termín kvůli Lagrange, 1774), ale ten, který vedl k nezvladatelné rovnice. Daniel Bernoulli (1778) zavedl princip maximálního součinu pravděpodobnosti systému souběžných chyb.
Metodu nejmenších čtverců má na svědomí Adrien-Marie Legendre (1805), který ji představil ve svých Nouvelles méthodes pour la détermination des orbites des comètes (Nové metody pro určování oběžných drah komet). V nevědomosti o Legendrově příspěvku, irsko-americký spisovatel, Robert Adrain, editor „The Analyst“ (1808), nejprve odvodil zákon zařízení chyby,
je konstantní v závislosti na přesnosti pozorování, a měřítko faktor zajišťující, že plocha pod křivkou se rovná 1. Dal dva doklady, druhý je v podstatě stejný jako John Herschel (1850). Gauss dal první důkaz, který se zdá být známé v Evropě (třetí po Adrain je) v 1809. Další doklady byly uvedeny Laplace (1810, 1812), Gauss (1823), James Ivory (1825, 1826), Hagen (1837), Friedrich Bessel (1838), W. F. Donkin (1844, 1856), a Morgan Crofton (1870). Další přispěvatelé byli Ellis (1844), De Morgan (1864), Glaisher (1872), a Giovanni Schiaparelli (1875). Peters (1856) vzorec pro , Pravděpodobná chyba jediného pozorování, je dobře známý.
V devatenáctém století autoři na obecné teorie zahrnuty Laplaceova, Sylvestre Lacroix (1816), Littrow (1833), Adolphe Quetelet (1853), Richard Dedekind (1860), Helmert (1872), Hermann Laurent (1873), Liagre, Didion, a Karl Pearson. Augustus De Morgan a George Boole zlepšila expozice teorie.
Na geometrickou stranu (viz integrální geometrie) přispívali do The Educational Times (Miller, Crofton, McColl, Wolstenholme, Watson a Artemas Martin).
V matematice je pravděpodobnost události A reprezentována reálným číslem v rozmezí od 0 do 1 a je psána jako P(A), p(A) nebo Pr(A).[6] Nemožná událost má pravděpodobnost 0 a určitá událost má pravděpodobnost 1. Nicméně, konverzace nejsou vždy pravdivé: pravděpodobnost událostí 0 není vždy nemožná, ani pravděpodobnost událostí 1 není jistá. Poměrně jemné rozlišení mezi „jistou“ a „pravděpodobností 1“ je obšírněji pojednáno v článku o „téměř jisté“.
Opakem nebo doplňkem události A je událost [ne A] (tedy událost A nenastane); její pravděpodobnost je dána P(ne A) = 1 – P(A).[7] Jako příklad lze uvést, že šance na nepřevržení šestky na šestiboké kostce je 1 – (šance na převalení šestky) = . Kompletnější zpracování viz Doplňková událost.
Pokud se obě události A a B vyskytnou na jediném výkonu experimentu, nazývá se to průsečík nebo společná pravděpodobnost A a B, označené jako .
Pokud dvě události, A a B jsou nezávislé, pak společná pravděpodobnost je
například, když se hodí dvě mince, šance, že obě budou panny, je [8]
Pokud se buď událost A nebo událost B nebo obě události vyskytnou při jediném provedení experimentu, nazývá se to spojení událostí A a B označených jako .
Pokud se dvě události vzájemně vylučují, pak pravděpodobnost, že se obě vyskytnou, je
Například šance na válcování 1 nebo 2 na šestistranné kostky je
Pokud se události vzájemně nevylučují, pak
Například, při losování jednu kartu náhodně z pravidelného balíčku karet, šance na získání srdce nebo kartu obličeje (J,Q,K) (nebo jeden, který je obojí) je , Vzhledem k tomu, 52 karet balíčku 13 jsou srdce, 12 jsou karty obličeje, a 3 jsou oba: zde možnosti obsažené v „3, které jsou oba“ jsou zahrnuty v každém z „13 srdce“ a „12 karty obličeje“, ale měly by být započítány pouze jednou.
Stejně jako jiné teorie je teorie pravděpodobnosti reprezentací pravděpodobnostních pojmů ve formálních pojmech – tedy v pojmech, které lze posuzovat odděleně od jejich významu. Tyto formální pojmy jsou manipulovány pravidly matematiky a logiky a jakékoli výsledky jsou pak interpretovány nebo přeloženy zpět do problémové oblasti.
Uskutečnily se nejméně dva úspěšné pokusy o formalizaci pravděpodobnosti, konkrétně Kolmogorovova formulace a Coxova formulace. V Kolmogorovově formulaci (viz pravděpodobnostní prostor) jsou množiny interpretovány jako události a samotná pravděpodobnost jako měřítko na třídu množin. V Coxově větě je pravděpodobnost brána jako primitivní (tedy dále neanalyzovaná) a důraz je kladen na konstrukci konzistentního přiřazení pravděpodobnostních hodnot k propozicím. V obou případech jsou zákony pravděpodobnosti stejné, s výjimkou technických detailů.
Existují i jiné metody kvantifikace nejistoty,
jako je Dempsterova-Shaferova teorie nebo teorie možností,
ale ty jsou v podstatě odlišné a nejsou kompatibilní se zákony pravděpodobnosti, jak jsou obvykle chápány.
Dvě hlavní aplikace teorie pravděpodobnosti v každodenním životě jsou v hodnocení rizik a v obchodě na komoditních trzích. Vlády obvykle uplatňují pravděpodobnostní metody v regulaci životního prostředí, kde se tomu říká „analýza cest“, často měřící blahobyt pomocí metod, které jsou stochastické povahy, a vybírají projekty, které budou realizovány na základě statistických analýz jejich pravděpodobného vlivu na populaci jako celek.
Dobrým příkladem je vliv vnímané pravděpodobnosti jakéhokoli rozsáhlého blízkovýchodního konfliktu na ceny ropy – které mají vlnící se účinky v ekonomice jako celku. Hodnocení obchodníka s komoditami, že válka je pravděpodobnější vs. méně pravděpodobná, posílá ceny nahoru nebo dolů a signalizuje ostatním obchodníkům tento názor. Pravděpodobnosti tedy nejsou hodnoceny nezávisle ani nutně velmi racionálně. Objevila se teorie behaviorálních financí, která popisuje vliv takového skupinového myšlení na tvorbu cen, na politiku a na mír a konflikt.
Lze důvodně říci, že objev přesných metod pro posuzování a kombinování posouzení pravděpodobnosti měl hluboký vliv na moderní společnost. Proto může být pro většinu občanů do jisté míry důležité pochopit, jak se provádí posuzování pravděpodobnosti a pravděpodobnosti a jak přispívají k dobré pověsti a k rozhodování, zejména v demokracii.
Další významnou aplikací teorie pravděpodobnosti v každodenním životě je spolehlivost. Mnoho spotřebních výrobků, jako jsou automobily a spotřební elektronika, využívá teorii spolehlivosti při návrhu výrobku, aby se snížila pravděpodobnost selhání. Pravděpodobnost selhání může být úzce spojena se zárukou výrobku.
V deterministickém vesmíru, založeném na newtonovských pojmech, neexistuje žádná pravděpodobnost, pokud jsou známy všechny podmínky. V případě rulety, pokud je známa síla ruky a perioda této síly, pak číslo, na kterém se kulička zastaví, by bylo jisté. To samozřejmě také předpokládá znalost setrvačnosti a tření kola, hmotnosti, hladkosti a zaoblení kuličky, změn rychlosti ruky během otáčení a tak dále. Pravděpodobnostní popis tak může být užitečnější než newtonovská mechanika pro analýzu vzorce výsledků opakovaných rulet rulety. Fyzikové čelí stejné situaci v kinetické teorii plynů, kde je systém, i když je deterministický v principu, tak složitý (s počtem molekul typicky řádově Avogadrova konstanta 6,02·1023), že je proveditelný pouze statistický popis jeho vlastností.
Revoluční objev fyziky 20. století byl náhodným charakterem všech fyzikálních procesů, které se vyskytují v subatomárních měřítcích a řídí se zákony kvantové mechaniky. Vlnová funkce se sama deterministicky vyvíjí tak dlouho, dokud se neprovádí pozorování, ale podle převládající Kodaňské interpretace je náhodnost způsobená kolapsem vlnové funkce při pozorování zásadní. To znamená, že k popisu přírody se vyžaduje teorie pravděpodobnosti. Jiní se nikdy nesmířili se ztrátou determinismu. Albert Einstein proslul poznámkou v dopise Maxovi Bornovi: Jedenfalls bin ich überzeugt, daß der Alte nicht würfelt. (Jsem přesvědčen, že Bůh nehraje kostky). I když existují alternativní úhly pohledu, jako že kvantová dekherence je příčinou zdánlivého náhodného kolapsu, v současnosti existuje mezi fyziky pevná shoda, že teorie pravděpodobnosti je nezbytná k popisu kvantových jevů.[Jak odkazovat a odkazovat na shrnutí nebo text]
Průměr (Aritmetika, Geometrie) – Medián – Režim – Výkon – Odchylka – Směrodatná odchylka
Testování hypotéz – Význam – Nullova hypotéza/Alternativní hypotéza – Chyba – Z-test – Studentův t-test – Maximální pravděpodobnost – Standardní skóre/Z skóre – P-hodnota – Analýza rozptylu
Funkce přežití – Kaplan-Meier – Logrank test – Četnost selhání – Proporcionální modely nebezpečnosti
Normal (zvonová křivka) – Poisson – Bernoulli
Matoucí veličina – Pearsonův korelační koeficient produktového momentu – Rank korelace (Spearmanův korelační koeficient hodnosti, Kendall tau korelační koeficient hodnosti)
Lineární regrese – Nelineární regrese – Logistická regrese