Tabulky pravdy jsou typem matematické tabulky používané v logice k určení, zda je výraz pravdivý nebo platný.
(Výrazy mohou být argumenty; tj. spojení výrazů, z nichž každý spoj je premisou s tím, že poslední je závěr.)
Tabulky pravdy byly vynalezeny pro práci na výrokovém kalkulu vyvinutém Gottlobem Fregem, Bertrandem Russellem a dalšími. Poprvé byly vynalezeny v roce 1917 Ludwigem Wittgensteinem a později a nezávisle v roce 1921 Emilem Postem. Wittgensteinův Tractatus Logico-Philosophicus je používá k umístění pravdivostních funkcí do řady.
Široký vliv této práce vedl k rozšíření používání tabulek pravdy.
Tabulky pravdy se používají pro výpočet hodnot pravdivě-funkčních výrazů (tj. jedná se o rozhodovací postup).
Pravda-funkční výraz je buď atomický (tj. výroková proměnná (nebo zástupný znak) nebo výroková funkce – např. Px) nebo sestavený z atomických vzorců logických operátorů (tj. ∧ (AND), ∨ (OR), ¬ (NOT) – např. Fx & Gx).
Nadpisy sloupců v tabulce pravdy ukazují (i) výrokové funkce a/nebo proměnné a (ii) pravdivě-funkční výraz sestavený z těchto výrokových funkcí nebo proměnných a operátorů.
Řádky ukazují každé možné ocenění T nebo F přiřazení k (i) a (ii).
Jinými slovy, každý řádek je odlišnou interpretací (i) a (ii).
Tabulky pravdy pro klasickou (tj. bivalentní) logiku jsou omezeny na booleovské logické systémy, kde jsou možné pouze dvě pravdivostní hodnoty, pravdivé nebo nepravdivé, obvykle označované v tabulkách jednoduše T a F (jak je uvedeno výše).
Vezměme například dvě výrokové proměnné a , a logický operátor „AND“ (∧), znamenající spojnici „A a B“ nebo ∧ .
V běžné angličtině platí, že pokud A i B jsou pravdivé, pak spojnice „ ∧ “ je pravdivá; podle všech ostatních možných přiřazení pravdivostních hodnot k ∧ jespojnice nepravdivá.
Tento vztah je definován takto:
Vztah OR (∨) je definován následovně:
V booleovském logickém systému lze takto explicitně definovat všechny operátory.
Například vztah NOT (¬) je definován takto:
Složené výrazy mohou být konstruovány pomocí závorek pro označení priority.
Negace konjunkce ¬ ( ∧ ) ≡ ∧ , a disjunkce negací ¬ ∨ ¬ jsou zobrazeny následovně:
Tabulky pravdy mohou být použity k prokázání logické ekvivalence.
Negace disjunkce ¬ ( ∨ ) ≡ ∨ , a konjunkce negací ¬ ∧ ¬ jsou zobrazeny následovně:
Srovnání výše uvedených dvou tabulek pravdy, protože výčet všech možných hodnot pravdy pro a přináší stejnou hodnotu pravdy jak podle ∧ tak ¬ ∨ ¬ ; a obou ∨ a ¬ ∧ ¬ , dvě a dvě jsou logicky ekvivalentní odpovídajícím způsobem, a mohou být vzájemně nahrazeny.
Tato ekvivalence je jedním z DeMorganových zákonů.
Tabulka pravdy pro nejčastěji používané logické operátory
Zde je pravdivostní tabulka uvádějící definice nejčastěji používaných 6 ze 16 možných pravdivostních funkcí 2 binárních proměnných (P,Q jsou tedy booleovské proměnné):
<↔>: biconditional nebo „if-and-only-if“ je logicky ekvivalentní <∨>: XNOR (exclusive nor).
Johnstonovy diagramy, podobně jako Vennovy diagramy a Eulerovy diagramy, poskytují způsob vizualizace tabulek pravdy. Interaktivní Johnstonův diagram ilustrující tabulky pravdy je na LogicTutorial.com
Zúžené tabulky pravdy pro binární operátory
U binárních operátorů se také používá zkrácená forma tabulky pravdy, kde záhlaví řádků a záhlaví sloupců určují operandy a buňky tabulky určují výsledek. Například logická logika používá tento zkrácený zápis tabulky pravdy:
Tato notace je užitečná zejména v případě, že operace jsou komutativní, i když lze dodatečně specifikovat, že řádky jsou prvním operandem a sloupce druhým operandem. Tato zhuštěná notace je užitečná zejména při diskusích o vícehodnotových rozšířeních logiky, protože výrazně snižuje kombinatorickou explozi počtu řádků, které jsou jinak potřebné. Poskytuje také rychle rozpoznatelný charakteristický „tvar“ rozložení hodnot v tabulce, který může pomoci čtenáři rychleji pochopit pravidla.