Zde je ilustrace centrální limitní věty.
Funkce hustoty pravděpodobnosti je znázorněna na prvním obrázku.
Pak hustoty součtů dvou, tří a čtyř nezávislých proměnných, z nichž každá má původní hustotu, jsou znázorněny na pozdějších obrázcích.
Ačkoli původní hustota je daleko od normálu,
hustota součtu jen několika proměnných s touto hustotou je mnohem hladší a má některé z kvalitativních rysů normální hustoty.
Konkrétnější ilustrace, ve které lze většinu aritmetiky provést víceméně okamžitě ručně, je na konkrétní ilustraci centrální limitní věty. K dispozici je také bezplatná plnohodnotná interaktivní simulace, která umožňuje nastavit různá rozdělení a upravit parametry vzorkování (viz „externí odkazy“ v dolní části této stránky).
Hustoty součtů dvou, tří a čtyř pojmů byly konstruovány jako konvoluce původní hustoty se sebou samým.
Vzhledem k tomu, že původní hustota je polynom po částech (stupně 0 a 1),
konvoluce jsou také polynomy po částech,
rostoucího stupně.
Proto konvoluce původní hustoty může být považována za prostředek konstrukce polynomiální aproximace k normální hustotě po částech.
Konoluce byly vypočteny pomocí diskrétní Fourierovy transformace.
Byl sestaven seznam hodnot y = f(x0 + k Δx), kde f je původní hustotní funkce a Δx je přibližně rovno 0,002 a k je rovno 0 až 1000.
Byla vypočtena diskrétní Fourierova transformace Y z y.
Pak je konvoluce f se sebou proporcionální inverzní
diskrétní Fourierově transformaci pointwisového součinu Y se sebou samým.
Funkce hustoty pravděpodobnosti
Začneme s funkcí hustoty pravděpodobnosti. Tato funkce, i když nespojitá, není zdaleka nejpatologickějším příkladem, který by mohl vzniknout. Průměr tohoto rozdělení je 0 a jeho směrodatná odchylka je 1.
Hustota součtu dvou proměnných
Dále vypočítáme hustotu součtu dvou nezávislých proměnných, z nichž každá má výše uvedenou hustotu.
Hustota součtu je konvoluce výše uvedené hustoty se sebou samým.
Součet dvou proměnných má průměr 0.
Hustota zobrazená na obrázku vpravo byla změněna o √2 tak, aby její směrodatná odchylka byla 1.
Tato hustota je již hladší než původní.
Jsou zde patrné hrudky, které odpovídají intervalům, na kterých byla původní hustota definována.
Hustota součtu tří proměnných
Pak vypočítáme hustotu součtu tří nezávislých proměnných, z nichž každá má výše uvedenou hustotu.
Hustota součtu je konvoluce první hustoty s druhou.
Součet tří proměnných má průměr 0.
Hustota zobrazená na obrázku vpravo byla změněna o √3 tak, aby její směrodatná odchylka byla 1.
Tato hustota je ještě hladší než ta předchozí.
Hrudky lze na tomto obrázku jen stěží odhalit.
Hustota součtu čtyř proměnných
Nakonec vypočítáme hustotu součtu čtyř nezávislých proměnných, z nichž každá má výše uvedenou hustotu.
Hustota součtu je konvoluce první hustoty s třetí.
Součet čtyř proměnných má průměr 0.
Hustota zobrazená na obrázku vpravo byla změněna o √4 = 2 tak, aby její směrodatná odchylka byla 1.
Tato hustota se jeví kvalitativně velmi podobná normální hustotě.
Jakékoli hrudky nelze okem rozlišit.