Narodil se v německém Lipsku, v letech 1921 až 1929 studoval na König-Albert-Gymnasium v tomto městě a pokračoval studiem medicíny na univerzitě v Lipsku. Absolvoval v roce 1934 a v únoru 1935 uprchl do Británie, nástup Hitlera učinil jeho smíšené rusko-židovské dědictví nebezpečným. Začal pracovat na University College London, zpočátku pod vedením Archibalda Viviana Hilla. V roce 1938 dokončil doktorát a získal Carnegie Fellowship ke studiu u Johna Carewa Ecclese v nemocnici v Sydney. V roce 1941 získal státní občanství a v roce 1942 vstoupil do Královského australského letectva. Válku strávil v Pacifiku jako radarový důstojník. V roce 1945 se oženil s Marguerite Penlyovou a v roce 1946 se vrátil na UCL jako asistent ředitele. Zpátky v Anglii také spolupracoval s nositeli Nobelovy ceny z roku 1963 Alanem Hodgkinem a Andrewem Huxleym. Katz byl v roce 1952 jmenován profesorem na UCL a vedoucím biofyziky, byl také zvolen do Královské společnosti. V čele biofyziky zůstal až do roku 1978, kdy se stal emeritním profesorem. Ve věku 92 let zemřel v Londýně 20. dubna 2003.
Jeho výzkum odhalil základní vlastnosti synapsí, tedy spojnic, přes které nervové buňky vysílají signál k sobě navzájem i k jiným typům buněk. V padesátých letech se zabýval biochemií a působením acetylcholinu, signalizační molekuly, pomocí níž synapse spojující „motorické nervy“ se svaly stimulují kontrakci. Katz získal Nobelovu cenu za objev, že uvolňování neurotransmiterů v synapsích je „kvantové“ – to znamená, že v každé konkrétní synapsi není množství uvolněného neurotransmiteru nikdy menší než určité množství, a pokud je více vždy integrálním číslem krát toto množství. Tato okolnost nastává, vědí dnes vědci, protože před uvolněním do synaptické mezery molekuly transmiterů sídlí v podobně velkých subcelulárních balíčcích známých jako synaptické váčky (více u exocytózy).
Katzova práce měla okamžitý vliv na studium organofosfátů a organochlorinů, což byl základ nové poválečné studie nervových látek a pesticidů, když zjistil, že komplexní enzymatický cyklus je snadno narušen.